Ordnung von Restklassen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
schreibe nächste Woche eine Klausur in Zahlentheorie und im Moment total am verzweifeln :-(. Irgendwie habe ich mit den Begriffen "Ordnung" und "Primitivwurzel" so meine Probleme.
In der Vorlesung haben wir dazu folgendes aufgeschrieben. Leider habe ich keine Ahnung was damit gemeint ist. Könnte mir von euch jemand erklären was damit gemeint ist?
DANKE schon mal im voraus.
p = 13:
[mm] 2^{0} [/mm] = 1 mod 13
[mm] 2^{1} [/mm] = 2 mod 13
[mm] 2^{2} [/mm] = 4 mod 13
[mm] 2^{3} [/mm] = 8 mod 13
[mm] 2^{4} [/mm] = 3 mod 13
[mm] 2^{5} [/mm] = 6 mod 13
[mm] 2^{6} [/mm] = 12 mod 13
[mm] 2^{7} [/mm] = 11 mod 13
[mm] 2^{8} [/mm] = 9 mod 13
[mm] 2^{9} [/mm] = 5 mod 13
[mm] 2^{10} [/mm] = 10 mod 13
[mm] 2^{11} [/mm] = 7 mod 13
[mm] 2^{12} [/mm] = 1 mod 13
=> 2 ist Primitivwurzel mod 13, da Ordnung gleich 12 ist (p-1).
Diskrete Logarithmustafel lt.:
n mod 13 | [mm] log_{2} [/mm] n
1 | 0
2 | 1
3 | 4
4 | 2
5 | 9
6 | 5
7 | 11
8 | 3
9 | 8
10 | 10
11 | 7
12 | 6
bis hierher ist mir noch alles klar.
Jetzt ist es einfach, die Ordnung aller Restklassen mod 13 zu bestimmen.
[mm] ord^{x}(3 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(4 [/mm] mod 12) = 3
[mm] ord^{x}(4 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(2 [/mm] mod 12) = 6
[mm] ord^{x}(5 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(9 [/mm] mod 12) = 4
[mm] ord^{x}(6 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(5 [/mm] mod 12) = 12
[mm] ord^{x}(7 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(11 [/mm] mod 12) = 12
[mm] ord^{x}(8 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(3 [/mm] mod 12) = 4
[mm] ord^{x}(9 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(8 [/mm] mod 12) = 3
[mm] ord^{x}(10 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(10 [/mm] mod 12) = 6
[mm] ord^{x}(11 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(7 [/mm] mod 12) = 12
[mm] ord^{x}(12 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(4 [/mm] mod 12) = 3
Dieser letzte Teil ist mir leider völlig unklar! Wie komme ich auf die letzte Zahl in jeder Zeile??? Wieso gilt:
[mm] ord^{x}(3 [/mm] mod 13) = [mm] ord^{x}(4 [/mm] mod 12)???
Ergebnis: Primitivwurzeln (Ordnung = 12) in [mm] \IF_{13} [/mm] sind 2, 6, 7, 11
Ordnung = 6 haben 4 und 10
Ordnung = 4 haben 5 und 8
Bitte helft mir, sonst sieht es für die Klausur mal richtig düster aus.
Gruß
Prof.
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Hallo Martin,
> Hallo zusammen,
>
> schreibe nächste Woche eine Klausur in Zahlentheorie und im
> Moment total am verzweifeln :-(. Irgendwie habe ich mit den
> Begriffen "Ordnung" und "Primitivwurzel" so meine
> Probleme.
>
> In der Vorlesung haben wir dazu folgendes aufgeschrieben.
> Leider habe ich keine Ahnung was damit gemeint ist. Könnte
> mir von euch jemand erklären was damit gemeint ist?
>
> DANKE schon mal im voraus.
>
> p = 13:
>
> [mm]2^{0}[/mm] = 1 mod 13
> [mm]2^{1}[/mm] = 2 mod 13
> [mm]2^{2}[/mm] = 4 mod 13
> [mm]2^{3}[/mm] = 8 mod 13
> [mm]2^{4}[/mm] = 3 mod 13
> [mm]2^{5}[/mm] = 6 mod 13
> [mm]2^{6}[/mm] = 12 mod 13
> [mm]2^{7}[/mm] = 11 mod 13
> [mm]2^{8}[/mm] = 9 mod 13
> [mm]2^{9}[/mm] = 5 mod 13
> [mm]2^{10}[/mm] = 10 mod 13
> [mm]2^{11}[/mm] = 7 mod 13
> [mm]2^{12}[/mm] = 1 mod 13
>
> => 2 ist Primitivwurzel mod 13, da Ordnung gleich 12 ist
> (p-1).
>
> Diskrete Logarithmustafel lt.:
>
> n mod 13 | [mm]log_{2}[/mm] n
> 1 | 0
> 2 | 1
> 3 | 4
> 4 | 2
> 5 | 9
> 6 | 5
> 7 | 11
> 8 | 3
> 9 | 8
> 10 | 10
> 11 | 7
> 12 | 6
>
> bis hierher ist mir noch alles klar.
>
> Jetzt ist es einfach, die Ordnung aller Restklassen mod 13
> zu bestimmen.
>
> [mm]ord^{x}(3[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(4[/mm] mod 12) = 3
> [mm]ord^{x}(4[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(2[/mm] mod 12) = 6
> [mm]ord^{x}(5[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(9[/mm] mod 12) = 4
> [mm]ord^{x}(6[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(5[/mm] mod 12) = 12
> [mm]ord^{x}(7[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(11[/mm] mod 12) = 12
> [mm]ord^{x}(8[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(3[/mm] mod 12) = 4
> [mm]ord^{x}(9[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(8[/mm] mod 12) = 3
> [mm]ord^{x}(10[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(10[/mm] mod 12) = 6
> [mm]ord^{x}(11[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(7[/mm] mod 12) = 12
> [mm]ord^{x}(12[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(4[/mm] mod 12) = 3
>
> Dieser letzte Teil ist mir leider völlig unklar! Wie komme
> ich auf die letzte Zahl in jeder Zeile??? Wieso gilt:
> [mm]ord^{x}(3[/mm] mod 13) = [mm]ord^{x}(4[/mm] mod 12)???
Es gilt [mm]1=2^{KGV(log_2{n}, 12)}=2^{log_2{n}*12/ (log_2{n}, 12)} =(n \bmod{13})^{12/ (log_2{n}, 12)}[/mm]; also [mm]ord^{\times} n \bmod{13}=12/(log_2{n}, 12)[/mm].
Hoffe jetzt ergeben die letzten Zahlen in den einzelnen Zeilen mehr Sinn  .
Mfg
zahlenspieler
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