Ordnung in nicht abelschen G. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 19.07.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
| Aufgabe | Sei (G,°) eine nicht abelsche Gruppen mit |G|=6 dann gibt es g,h [mm] \in [/mm] G
a)ord(g)=3
b)ord(h)=2
c)G=<g,h> |
Hallo,
Meine Idee a),b):
Sei x [mm] \in [/mm] G/{e}
ord(x) [mm] \in [/mm] {2,3,6} nach Lagrange, aber wenn ord(x)=6, dann wäre G=<x> und damit abelsch
Nun müsste ich nur noch zeigen das G nicht nur aus Elementen der Ordnung 3 bzw. 2 bestehen kann.
c)
Da ggT(2,3)=1 [mm] \Rightarrow \cap= [/mm] {e}
[mm] \Rightarrow g\not=h^-k [/mm] und [mm] g\not=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g°h=k mit k [mm] \not\in [/mm] {<g>,<h>}
[mm] \Rightarrow [/mm] <g,h> hat mindesten 5 Elemente da aber ord(<g,h>)|6 muss folgt ord(<g,h>)=6
[mm] \Rightarrow [/mm] <g,h>=G
|
|
| |
|
Hallo Saskia,
> Sei (G,°) eine nicht abelsche Gruppen mit |G|=6 dann gibt
> es g,h [mm]\in[/mm] G
> a)ord(g)=3
> b)ord(h)=2
> c)G=<g,h>
Ich erkenne hier keine sauber gestellte bzw. abgetippte Aufgabe.
So ist eine Aussage, keinerlei Information was damit zu machen ist.
Ich nehme mal es ist zu zeigen.
> Hallo,
>
>
> Meine Idee a),b):
> Sei x [mm]\in[/mm] G/{e}
Du meinst hier [mm] $G\backslash \{e\}$ [/mm] ("ohne e").
Was du schreibst bedeutet " modulo e" und ist was ganz anderes.
> ord(x) [mm]\in[/mm] {2,3,6} nach Lagrange, aber wenn ord(x)=6, dann
> wäre G=<x> und damit abelsch
>
> Nun müsste ich nur noch zeigen das G nicht nur aus
> Elementen der Ordnung 3 bzw. 2 bestehen kann.
Angenommen alle Elemente einer Gruppe haben Ordnung 1 oder p (p prim). Wie sieht dann die Ordnung dieser Gruppe aus?
Falls bereits bekannt helfen hier auch die Sylowsätze.
> c)
>
> Da ggT(2,3)=1 [mm]\Rightarrow \cap=[/mm] {e}
Ja.
> [mm]\Rightarrow g\not=h^{-k}[/mm] und [mm]g\not=e[/mm]
Was ist hier k?
> [mm]\Rightarrow[/mm] g°h=k mit k [mm]\not\in[/mm] {<g>,<h>}
Ist das noch das k von der letzen Zeile?
> [mm]\Rightarrow[/mm] <g,h> hat mindesten 5 Elemente da aber
> ord(<g,h>)|6 muss folgt ord(<g,h>)=6
Wie kommst du auf 5? Und würden nicht bereits 4 reichen?
> [mm]\Rightarrow[/mm] <g,h>=G
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Fr 19.07.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
> Angenommen alle Elemente einer Gruppe haben Ordnung 1 oder
> p (p prim). Wie sieht dann die Ordnung dieser Gruppe aus?
Die Ordnung müsste gleich p sein, aber wie ich dies zeige ist mir nicht klar
> Wie kommst du auf 5? Und würden nicht bereits 4 reichen?
> > [mm]\Rightarrow[/mm] <g,h>=G
Stimmt
|
|
|
| |
|
> > Angenommen alle Elemente einer Gruppe haben Ordnung 1 oder
> > p (p prim). Wie sieht dann die Ordnung dieser Gruppe aus?
> Die Ordnung müsste gleich p sein, aber wie ich dies zeige
> ist mir nicht klar
Man kann es auch nicht zeigen, es ist falsch. Gegenbsp. [mm] $\mathbb [/mm] Z/2 [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \times \mathbb [/mm] Z/2 [mm] \mathbb [/mm] Z$
>
> > Wie kommst du auf 5? Und würden nicht bereits 4 reichen?
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] <g,h>=G
>
> Stimmt
Krieg ich auf die erste Frage auch eine Antwort?
Und was folgt es dem stimmt?
|
|
|
|
