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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:02 Sa 02.01.2010 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Ich habe ein paar Fragen:
Sei G eine endliche abelsche Gruppe und H eine Untergruppe von G.
1. Dann gilt ja, dass H ein Normalteiler von G ist (da G abelsch), oder?
2. Angenommen H hat die Ordnung m, also |H|=m. Was kann ich daraus entnehmen? Ich weiß also, dass die Anzahl der Elemente in H gleich m ist und m ist ein Teiler der Anzahl der Elemente in G (wegen Lagrange), richtig? Kann ich weiter argumentieren: [mm] H=\{x \in G: xm=0\}? [/mm] Dann wäre [mm] H=G_m [/mm] und [mm] |H|=|G_m|=|g_G(m)|?
[/mm]
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Sa 02.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> 1. Dann gilt ja, dass H ein Normalteiler von G ist (da G
> abelsch), oder?
Ja.
> 2. Angenommen H hat die Ordnung m, also |H|=m. Was kann
> ich daraus entnehmen? Ich weiß also, dass die Anzahl der
> Elemente in H gleich m ist und m ist ein Teiler der Anzahl
> der Elemente in G (wegen Lagrange), richtig?
Ja.
> Kann ich weiter argumentieren: [mm]H=\{x \in G: xm=0\}?[/mm] Dann wäre [mm]H=G_m[/mm]
> und [mm]|H|=|G_m|=|g_G(m)|?[/mm]
Was soll das alles bedeuten? Was meinst du mit [mm]xm[/mm], [mm] $G_m$ [/mm] und [mm] $g_G(m)$?
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:27 Sa 02.01.2010 | | Autor: | moerni |
Danke erstmal für die rasche Antwort.
Das alles gehört zu einer Aufgabe: G endliche abelsche Gruppe, H [mm] \le [/mm] G Untergruppe derart, dass |H| und [G:H] teilerfremd sind. Ich muss unter anderem zeigen, dass H ein Komplement K in G hat (Dh. Es gibt ein K [mm] \le [/mm] G mit HK=G und H [mm] \cap [/mm] K = [mm] \{e\}. [/mm]
Wir hatten in der Vorlesung (als Hinführung zum Thema Möbiusfunktion) Eine Bemerkung: "(G,+) endlich abelsch. Die Anzahl aller x in G der Ordnung n ist [mm] f_G(n)=|\{x \in G: ord(x)=n\}|. [/mm] Leichter zu bestimmen ist [mm] g_G(n)=|\{x \in G: nx = 0\}|" [/mm] - was das genau heißen soll, hab ich mich auch schon gefragt....
Ich habe mir überlegt, dass ich das irgendwie benutzen könnte...? Denn wäre es so, dass [mm] H=\{x \in G: mx = 0\}, [/mm] definiere n=[G:H]=|K| mit [mm] K=\{x \in G: nx = 0\}. [/mm] Dann könnte ich zeigen, dass H [mm] \cap [/mm] K = [mm] \{0\} [/mm] ist, denn aus mx=nx=0 folgt x=(km+ln)x=0 (da ggT(m,n)=1).
Mir ist bewusst, dass ich hier e=0 setze, das ist noch nicht ganz richtig.
Bin ich bei meinen Ansätzen auf dem richtigen Weg oder ist das alles Quatsch?
grüße moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 05.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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