Ordnung eines Gruppenelements < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe und b, a aus G mit [mm] a^5=1 [/mm] und [mm] aba^{-1}=b^2. [/mm] Bestimme die Ordnung von b. |
Wie soll das denn gehen??
Soll man das nach b^? =1 umstellen? Wenn ja, gibt es einen Trick?
Vielen Dank für Hinweise.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Mo 24.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei G eine Gruppe und b, a aus G mit [mm]a^5=1[/mm] und
> [mm]aba^{-1}=b^2.[/mm] Bestimme die Ordnung von b.
Es waere hier gut zu wissen, welches Vorwissen du hast. Ist das eine Frage aus einer Gruppentheorie-Vorlesung, aus einer linearen-Algebra-Vorlesung, ...?
> Wie soll das denn gehen??
Beachte, dass [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto [/mm] a x [mm] a^{-1}$ [/mm] ein Automorphismus von $G$ ist; insbesondere haben $b$ und [mm] $\varphi(b) [/mm] = [mm] b^2$ [/mm] die gleiche Ordnung.
Wenn $b$ und [mm] $b^2$ [/mm] die gleiche Ordnung haben, welche Werte sind dann fuer die Ordnung moeglich? (Kann sie gerade sein?)
Und dann bleibt noch die Frage: kann man mehr aussagen? Oder sind alle diese Moeglichkeiten auch in der Praxis moeglich? (Dazu ist das semidirekte Produkt praktisch -- wenn du das kennst.)
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Hilfe. Das ist eine Frage aus einer wirklich schweren Algebravorlesung...
Wir haben Gruppen nur ganz am Rande behandelt, also weiß ich nichts über die Ordnungserhaltung von Gruppenautomorphismen. (ist das immer so? und wenn ja warum?)
Also die Ordnung von b muss ungerade sein.
was ein semidirektes produkt ist, weiß ich leider auch nicht. Vielleicht kannst du mir noch einen Tipp geben.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> vielen Dank für deine Hilfe. Das ist eine Frage aus einer
> wirklich schweren Algebravorlesung...
> Wir haben Gruppen nur ganz am Rande behandelt, also weiß
> ich nichts über die Ordnungserhaltung von
> Gruppenautomorphismen. (ist das immer so? und wenn ja
> warum?)
> Also die Ordnung von b muss ungerade sein.
OK
> was ein semidirektes produkt ist, weiß ich leider auch
> nicht. Vielleicht kannst du mir noch einen Tipp geben.
Brauchst du auch nicht unbedingt...
Überleg dir mal oder rechne aus, was passiert, wenn du diese Abbildung wiederholt auf b anwendest, also 2-, 3-, 4-, 5mal.
Gruß
Dieter
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Danke, Dieter
wenn ich die Abb. wiederholt auf b anwende erhalte ich, dass b, [mm] b^2, b^4 [/mm] ... [mm] b^2^n [/mm] die gleichen ordnungen haben und zwar für alle n.
daraus müsste dann ja folgen, dass die Ordnung 1 ist?
Ist das so? und wenn ja, wie zeigt man das?
ach und wieso ist o(b) = [mm] o(b^2)?
[/mm]
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> wenn ich die Abb. wiederholt auf b anwende erhalte ich,
> dass b, [mm]b^2, b^4[/mm] ... [mm]b^2^n[/mm] die gleichen ordnungen haben und
> zwar für alle n.
> daraus müsste dann ja folgen, dass die Ordnung 1 ist?
Nee! Was passiert denn, wenn du die Abb. 5mal anwendest? Welche Abb. ist das überhaupt? Schau ganz genau hin!
> ach und wieso ist o(b) = [mm]o(b^2)?[/mm]
Das ist letztlich so, weil [mm] $\varphi(x^n)$ [/mm] = [mm] $\varphi(x)^n$ [/mm] ist.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mo 24.11.2008 | | Autor: | bloedmann |
jetzt hab ich es!
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
Dann verrat deine Lösung doch auch.
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ok, ähm ich war auch etwas voreilig...
wrum folgt aus [mm] \phi(b^n) [/mm] = [mm] \phi(b)^n [/mm] das die ordnungen gleich sind?
sei o(b)=n dann ist [mm] \phi(b^n)=1=\phi(b)^n=(b^2)^n
[/mm]
dann könnte [mm] o(b^2)=n/2 [/mm] sein. dass n ungerade sein muss folgt dann ja erst daraus, dass die Ordnungen gleich sind.
[mm] \phi^5(b)=a^5ba^{-5}=b
[/mm]
[mm] \phi^5=(b^2)^5 [/mm] =b^10=b
[mm] b^9=1
[/mm]
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
> ok, ähm ich war auch etwas voreilig...
Das glaub' ich auch.
> warum folgt aus [mm]\phi(b^n)[/mm] = [mm]\phi(b)^n[/mm] dass die ordnungen
> gleich sind?
Wenn o(b) = n ist, also [mm] b^n [/mm] = e, dann ist doch e = [mm] \phi(e) [/mm] = [mm] \phi(b^n) [/mm] = [mm] \phi(b)^n. [/mm] Wegen der Bijektivität ist für alle r < n [mm] b^r \not= [/mm] e, also auch [mm] \phi(b)^r \not= [/mm] e.
> [mm]\phi^5(b)=a^5ba^{-5}=b[/mm]
> [mm]\phi^5=(b^2)^5[/mm] =b^10=b
> [mm]b^9=1[/mm]
>
> ist das richtig?
Das stimmt nicht, du weißt es besser: [mm] \phi^2(b) [/mm] = [mm] b^4, \phi^3(b) [/mm] = [mm] b^8 [/mm] usw.
Nun mach mal hin!
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Di 25.11.2008 | | Autor: | bloedmann |
> Das stimmt nicht, du weißt es besser: [mm]\phi^2(b)[/mm] = [mm]b^4, \phi^3(b)[/mm]
> = [mm]b^8[/mm] usw.
>
> Nun mach mal hin!
Huch... also b^31=1
Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Di 25.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Das stimmt nicht, du weißt es besser: [mm]\phi^2(b)[/mm] = [mm]b^4, \phi^3(b)[/mm]
> > = [mm]b^8[/mm] usw.
> >
> > Nun mach mal hin!
>
> Huch... also b^31=1
Wie kommst du dadrauf? Das glaub ich naemlich nicht (ohne weitere Voraussetzungen wie [mm] $b^{31} [/mm] = 1$).
LG Felix
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