Optimierungsproblem umstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:49 Fr 17.10.2014 | | Autor: | pAt84 |
Hallo,
war schon ewig nicht mehr in diesem Forum aber jetzt hat es mich mal wieder hergelockt. Wollte auch gleich ein paar Fragen beantworten, allerdings scheint alles gut abgedeckt. ;) Dafür eine Frage von mir. Ich habe folgendes Optimierungsproblem:
[mm] \min_{\mathbf{w}, b} \left[ \frac{C}{2}\left\| \mathbf{w} \right\| + \sum\limits_{i = 1}^n {\max \left\{ {0,1 - {y^{\left( i \right)}}\left( {\mathbf{w}^T \mathbf{x}^{(i)} + b} \right)} \right\}} \right] [/mm]
Dem ein oder anderen mag auffallen, dass das eine lineare Support Vektor Maschine ist. Nun gibt es davon auch noch die Variante mit Nebenbedingungen:
[mm] {\min_{\mathbf{w},b,\mathbf{\xi} } \frac{C}{2}\left\| \mathbf{w} \right\| { + C\sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}} }} [/mm]
mit Nebenbedingungen
[mm] \[{y^{\left( i \right)}}\left( {\mathbf{w}^T{x^{\left( i \right)}} + b} \right) \ge 1 - {\xi _i}\] [/mm] und [mm] {\xi _i} \ge 0 [/mm].
Nun stellt sich die Frage wie man der erste in das zweite Problem umwandelt. Natürlich ist es für mich irgendwie ersichtlich, dass wenn [mm] \[{y^{\left( i \right)}}\left( {\mathbf{w}^T{x^{\left( i \right)}} + b} \right) \ge 1\] [/mm] dann [mm] \xi _i = 0 [/mm] und wenn [mm] \[{\xi _i} > 0\][/mm], dann [mm] \[{y^{\left( i \right)}}\left( {\mathbf{w}^T{x^{\left( i \right)}} + b} \right) = 1 - \xi_i \] [/mm]. Es ist also schon logisch, dass das so passt. Nur ganz zufrieden bin ich mit der Erklärung nicht. Eine saubere mathematische Herleitung ist gesucht, auf jeden Fall ein Pointer in die richtige Richtung.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 01.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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