Optimierung mit Nebenbedingung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:46 Fr 11.04.2008 | | Autor: | BobBoraxo |
| Aufgabe | Seien [mm] M\subset\IR^n [/mm] eine konvexe Menge , [mm] x\* \in [/mm] M und f [mm] \in C1(B(x\*;R)) [/mm] für ein geeignetes R>0
Ist [mm] x\* [/mm] eine lokale Minimalstelle von f, so gilt:
[mm] grad(f(x\*))^T(x-x\*)\ge0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M;
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Ich muss in einigen Wochen ein Referat über Optimierung mit Nebenbedingungen halten und da war unter anderem diese Eigenschaft ohne weiteren Beweis o.ä. angegeben. Ich hab mich bemüht alles zu verstehen, aber da komm ich keinen Deut weiter. Ich würde gerne verstehen warum das so ist, vielleicht kann mir da jmd. helfen bzw. einen Ansatz für einen Beweis geben.
Besten Gruß und Danke im Vorraus
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> Seien [mm]M\subset\IR^n[/mm] eine konvexe Menge , [mm]x\* \in[/mm] M und f
> [mm]\in C1(B(x\*;R))[/mm] für ein geeignetes R>0
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> Ist [mm]x\*[/mm] eine lokale Minimalstelle von f, so gilt:
> [mm]grad(f(x\*))^T(x-x\*)\ge0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M;
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> Ich muss in einigen Wochen ein Referat über Optimierung mit
> Nebenbedingungen halten und da war unter anderem diese
> Eigenschaft ohne weiteren Beweis o.ä. angegeben. Ich hab
> mich bemüht alles zu verstehen, aber da komm ich keinen
> Deut weiter. Ich würde gerne verstehen warum das so ist,
> vielleicht kann mir da jmd. helfen bzw. einen Ansatz für
> einen Beweis geben.
>
Hallo,
Du hast alles richtig abgeschrieben?
Mit [mm] B(x\*;R) [/mm] ist die offene R-Kugel um [mm] x^{\*} [/mm] gemeint?
Wenn f in [mm] x^{\*} [/mm] ein lokales Extremum hat, so ist [mm] grad(f(x^{\*})=0. [/mm]
(Analysis 2, Beweis in jedem entsprechenden Buch.)
Und wenn der Gradient der Nullvektor ist, ist natürlich auch sein Produkt mit irgendeinem Vektor =0, also [mm] \ge [/mm] 0.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 11.04.2008 | | Autor: | BobBoraxo |
also dass stimmt schon alles so
steht in Quateroni - Numerische Mathematik S.333
die zweite Eigenschaft ist in dem Zuge genannt wird ist
2. Ist darüber hinaus f konvex auf M und 1. erfüllt, so ist [mm] x\* [/mm] eine globale Minmalstelle von f
also habe ich mich doch nicht geirrt. eigentlich könnte man das [mm] \ge [/mm] durch = ersetzen.aber ich frage mich trotzdem noch wohin mich diese suspekte ungleichung bringen soll... irgendwie verwirrt mich das
nach diesen Optimalitätsbedingungen geht es dann weiter mit der Annahme f sei streng konvex
also [mm] \exists [/mm] p>0
f[ [mm] \alpha x+(1-\alpha)y [/mm] ] [mm] \le \alphaF(x)+(1-\alpha)f(y)-\alpha(1-\alpha)p \parallel x-y\parallel^2
[/mm]
und der Folgerung das [mm] x\* [/mm] dann eindeutig bestimmt ist.
Ich weiß zwar noch nicht wie ich das beweisen soll. Aber mal sehen...
Nur nochmal zur vergewisserung:
Ist denn eigentlich eine konvexe Menge auch immer kompakt? Nein oder? weil dann ist ja erstma nicht die existenz eines minimums gegeben, ja?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mo 14.04.2008 | | Autor: | BobBoraxo |
ähm, wenn f sein minimum in x* auf dem Rand von M annimmt, dann muss grad(f(x*)) doch gerade nicht 0 sein, oder?
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