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Optimierung des Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mo 22.08.2016
Autor: mathestudent111

Aufgabe
Hallo Leute,
ich lese gerade ein (finanz)mathematisches Paper, verstehe aber eine Bemerkung nicht. Die Berechnung stand kommentarlos im Paper. Vielleicht könnt Ihr mir helfen. Danke schonmal!

LG, mathestudent111

Sei S(t) ein stochastischer Prozess und wir haben folgendes Optimierungsproblem [mm] h_{H} [/mm] (dabei sind C und h Funktionen, [mm] T_{m} [/mm] kann man als einen Zeitpunkt ansehen):

[mm] h_{H}=min_{h \in H} E[(C(T_{m})-h(S(T_{m})))^{2}]. [/mm]

Falls man nun [mm] H=L^{2}((S(T_{m})) [/mm] setzt, dann erhält man folgende Lösung:

[mm] h_{H}=E[C(T_{m}) [/mm] | [mm] \sigma(S(T_{m}))] [/mm] (sigma-Algebra).

Welche Hilfsmittel braucht man für diesen Beweis? Danke schonmal.

        
Bezug
Optimierung des Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Mo 22.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Welche Hilfsmittel braucht man für diesen Beweis? Danke schonmal.

das kommt darauf an, wie ihr die bedingte Erwartung eingeführt habt.
Unter Umständen entspricht das einfach eurer Definition.
Ansonsten ist das ein Beweis, den ihr bestimmt gemacht habt.

Der bedingte Erwartungswert ist nämlich gerade die orthogonale [mm] $L^2$-Projektion [/mm] der gegebenen Zufallsvariable auf die bezüglich der zugrunde liegenden Sigma-Algebra meßbaren Funktionen.

Gruß,
Gono.


Bezug
                
Bezug
Optimierung des Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mo 22.08.2016
Autor: mathestudent111

Ja stimmt. Habe mir gerade die Definition rausgesucht. Danke.

>  
> [mm]h_{H}=E[C(T_{m})[/mm] | [mm]\sigma(S(T_{m}))][/mm] (sigma-Algebra).

Aber wie kommt es denn, dass bei der Lösung falls ich [mm] H=L^{2}((S(T_{m})) [/mm] wähle, das Quadrat im Erwartungswert wegfällt?

Bezug
                        
Bezug
Optimierung des Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:20 Di 23.08.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja stimmt. Habe mir gerade die Definition rausgesucht.
> Danke.
>  
> >  

> > [mm]h_{H}=E[C(T_{m})[/mm] | [mm]\sigma(S(T_{m}))][/mm] (sigma-Algebra).

> Aber wie kommt es denn, dass bei der Lösung falls ich
> [mm]H=L^{2}((S(T_{m}))[/mm] wähle, das Quadrat im Erwartungswert wegfällt?

Du darfst die bedingte Erwartung nicht mit einem bzw dem ersten Erwartungswert gleichsetzen. Der Erwartungswert ist eine reelle Zahl, die bedingte Erwartung ist eine Zufallsvariable.

Deine Gleichung:

[mm]h_{H}=E[C(T_{m})|\sigma(S(T_{m}))][/mm]

ist also falsch!

Sondern es gilt [mm] $E[C(T_{m})|\sigma(S(T_{m}))]$ [/mm] minimiert den Ausdruck [mm] E[(C(T_{m})-h(S(T_{m})))^{2}] [/mm] über alle [mm] $h(S(T_{m}))$ [/mm]

D.h. setzt du [mm] $h(S(T_{m})) [/mm] = [mm] E[C(T_{m})|\sigma(S(T_{m}))]$, [/mm] so minimiert dieses h den obigen Ausdruck, d.h. es gilt:

$ [mm] h_{H}=\min_{h \in H} E[\left(C(T_{m})-h(S(T_{m}))\right)^{2}] [/mm] = [mm] E[\left(C(T_{m})-E[C(T_{m})| \sigma(S(T_{m}))]\right)^{2}]$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Optimierung des Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:17 Di 23.08.2016
Autor: mathestudent111

Hey Gono, danke nochmal :)

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