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Forum "Funktionalanalysis" - Operatornorm der HR-Adjung.ten
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Operatornorm der HR-Adjung.ten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mo 29.09.2014
Autor: Schachtel5

Hallo
ich bin extrem aus der Mathematik raus.
Sei H ein Hilbertraum und [mm] A\in [/mm] L(H). Ich will wissen, wieso für die Hilbertraumadjungierte [mm] A^{\*}\in [/mm] L(H) gilt [mm] :\|A^{\*}\|=\|A\| [/mm]
[mm] A^{\*} [/mm] ist charakterisiert durch: [mm] \forall x,y\in [/mm] H ist [mm] = [/mm]
bzw [mm] A^{\*}=\Phi^{-1}A'\Phi [/mm] mit [mm] A':H^{\*}\to [/mm] H* Banachraumadjungierte von A und
[mm] \Phi:H\to H^{\*} [/mm] der antilineare isometrische Isomorphismus aus dem Darstellungssatz von Riesz.
Genauer haperts bei mir an der Gleichung: [mm] \|\Phi^{-1}A'\Phi\|=\|A'\|. [/mm] Ich weiss, dass [mm] \|A'\|=\|A\| [/mm] gilt und irgendwie muss wohl die Isometrie-Eigenschaft ausschlaggebend sein, weshalb die Gleichung gelten soll. Aber ich kann ja nicht sagen zb, dass [mm] \Phi [/mm] Operatornorm 1 hätte, denn wir haben die Operatornorm nur für lineare stetige Abbildungen zwischen normierten Räumen definiert und [mm] \Phi [/mm] ist konjugiert linear.
Ich freue mich über jede Hilfe.
Gruß


        
Bezug
Operatornorm der HR-Adjung.ten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Do 02.10.2014
Autor: andyv

Hallo

Da sowohl [mm] $\Phi$ [/mm] als auch ihre Inverse Isometrien sind, gelten [mm] $\|\Phi^{-1}A'\Phi [/mm] x [mm] \|=\|A'\Phi x\|$ [/mm] und [mm] $\|\Phi [/mm] x [mm] \|=\|x\|$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] H$, woras die behauptete Gleichheit der Operatornormen folgt.

Dass die Abbildung $A [mm] \rightarrow [/mm] A'$ eine Isometrie ist, folgt im Übrigen aus dem Satz von Hahn-Banach, genauer aus der Gleichung [mm] $\|x\|=\sup_{x' \in \overline{B_1(0)} \subset H'} \|x'(x)\|$. [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
                
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Operatornorm der HR-Adjung.ten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 So 05.10.2014
Autor: Schachtel5

danke für deine Antwort. Achso, leider haperts bei mir dann jetzt an der Gleichung [mm] \|A'\Phi x\|=\|A'x\|. [/mm]
Ich kann ja nicht sagen, dass [mm] \Phi [/mm] x=x, sondern nur [mm] \|\Phi x\|=\|x\|, [/mm] deswegen muss man da noch abschätzen oder?
Also [mm] \|A'\Phi x\|\le \|A'\|\|\Phi x\|=\|A'\|\|x\| [/mm]  ( [mm] \Rightarrow \|A'\Phi \|\le \|A'\|) [/mm] .
Und wie geht die andere Abschätzung? Oder wie sieht man die Gleichung genau ein?


Bezug
                        
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Operatornorm der HR-Adjung.ten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 05.10.2014
Autor: andyv

Da bist du auf dem falschen Weg, [mm] $\|A'x\|=\|A'\Phi x\|$ [/mm] kannst du nicht zeigen.

Da [mm] $\Phi^{-1}$ [/mm] eine Isometrie ist, gilt [mm] $\|A^\*y\|=\|A'\Phi y\| [/mm] \ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] H$.
Nun bildest du das Supremum über die 1-Sphäre um 0 in H.
Auf der linken Seite steht dann die Operatornorm von [mm] $A^\*$, [/mm] auf der rechten Seite kannst du aber auch das Supremum über alle [mm] $x:=\Phi [/mm] y [mm] \in \partial B_1(0)$ [/mm] laufen lassen, da ja [mm] $\Phi$ [/mm] eine isometrischer Isomorphismus ist und erhälst die Operatornorm von [mm] $A^{'}$. [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
        
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Operatornorm der HR-Adjung.ten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 So 05.10.2014
Autor: fred97

Es ist

[mm] ||A^{\star}y||=\sup_{||x ||=1}||=\sup_{||x ||=1}|| \le \sup_{||x ||=1}||Ax||*||y||=||A||*||y||. [/mm]

(das [mm] \le [/mm] folgt aus Cauchy-Schwarz).

Wir haben also:

(*)  [mm] $||A^{\star}|| \le [/mm] ||A||$

Benutze nun [mm] A^{\star \star}=A [/mm] und (*), um

   [mm] $||A^{\star}|| \ge [/mm] ||A||$

zu erhalten.

FRED

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Operatornorm der HR-Adjung.ten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 So 05.10.2014
Autor: DieAcht

Freddy, Fred, Fred Feuerstein, willkommen zurück aus dem Urlaub(?). :-)

Viele Grüße
DieAcht

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Operatornorm der HR-Adjung.ten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 So 05.10.2014
Autor: fred97


> Freddy, Fred, Fred Feuerstein, willkommen zurück aus dem
> Urlaub(?). :-)

Hallo Acht,

danke für die Begrüßung ! Ja, gestern kam ich aus Andalusien zurück.

Cadiz, Sevilla, Jerez, Ronda, ..... einfach toll !


Gruß FRED

>  
> Viele Grüße
>  DieAcht


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