Operatornorm berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Do 22.11.2012 | | Autor: | enene |
| Aufgabe | H ein Hilbertraum, [mm]a,b \in H\setminus \{0\}[/mm] orthogonal.
[mm] U:H \rightarrow H[/mm] ist definiert durch:
[mm] U(x) = a + b [/mm]
Berechne die Operatornorm von U |
Mit Pythagoras und Cauchy-Schwartz kann man leicht abschaetzen, ich finde aber die genaue Loesung nicht.
Freue mich ueber Ideen, Tipps oder Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> H ein Hilbertraum, [mm]a,b \in H\setminus \{0\}[/mm] orthogonal.
> [mm]U:H \rightarrow H[/mm] ist definiert durch:
> [mm]U(x) = a + b[/mm]
> Berechne die Operatornorm von U
> Mit Pythagoras und Cauchy-Schwartz kann man leicht
Der Mann heißt Schwarz (ohne t)
> abschaetzen, ich finde aber die genaue Loesung nicht.
> Freue mich ueber Ideen, Tipps oder Hilfe
Ja, das ist nicht so einfach, wie es zunächst aussieht !
Sei W die lineare Hülle von a und b. Dann ist H=W [mm] \oplus W^{\perp}
[/mm]
Ist x [mm] \in [/mm] H , so gibt es r,s [mm] \in \IC [/mm] ( oder [mm] \IR, [/mm] falls H reell ist) und w [mm] \in W^{\perp} [/mm] mit
x=ra+sb+w.
Nun rechne nach:
[mm] $||Ux||^2=||a||^2*||b|^2*(|s|^2*||b||^2+|r|^2*||a||^2)=||a||^2*||b|^2*(||x||^2-||w||^2) \le ||a||^2*||b|^2*||x||^2$
[/mm]
Also:
(*) $||Ux|| [mm] \le [/mm] ||a||*||b||*||x||$
Damit ist $||U|| [mm] \le [/mm] ||a||*||b||$
Wenn Du in (*) setzt x=a, so bekommst Du: $||U|| = ||a||*||b||$
FRED
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