www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis des R1" - Operatornorm
Operatornorm < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Operatornorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Fr 11.06.2010
Autor: WiebkeMarie

Aufgabe
Sei $ B [mm] \in L(\IR^2,\IR^2) [/mm] $ beschrieben durch die 2x2-Matrix [mm] B=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }, [/mm] wobei $ [mm] a,b\in\IR$. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel=max(|a|,|b|)$. [/mm]

Hallo!
Ich habe eine Lösung der Aufgabe, aber bin mir nicht sicher, ob sie richtig ist.

Fall 1: $|a| [mm] \le [/mm] |b|$
$ [mm] \parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel [/mm] = sup [mm] \left\{ |Bx| \; \big| \; |x| \le 1 \right\} [/mm] $
= sup [mm] \left\{ \left \| \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\} [/mm]
= sup [mm] \left\{ \left \| \vektor{ax_1 \\ bx_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\} [/mm]
= sup [mm] \left\{ \left \| \wurzel{a^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\} [/mm]
[mm] \le [/mm] sup [mm] \left\{ \left \| \wurzel{b^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\} [/mm]
= sup [mm] \left\{ \left \| |b| \wurzel{x_1^2+x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\} [/mm]
= |b|

Für den Fall $|b| [mm] \le [/mm] |a|$ folgt:
$ [mm] \parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel \le [/mm] |a|$

Jetzt kommt mein Problem, denn eigentlich ist damit ja erst gezeigt, dass  $ [mm] \parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel \le [/mm] max(|a|,|b|) $ und damit nicht die Gleichheit. Allerdings habe ich leider keine Ahnung, wie ich diese zeigen kann und wäre dankbar für jeden Tipp.

Viele Grüße, Wiebke



        
Bezug
Operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 11.06.2010
Autor: statler


> Sei [mm]B \in L(\IR^2,\IR^2)[/mm] beschrieben durch die 2x2-Matrix
> [mm]B=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b },[/mm] wobei [mm]a,b\in\IR[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\parallel \! B \! \parallel=max(|a|,|b|)[/mm].

Hallo!

>  Ich habe eine Lösung der Aufgabe, aber bin mir nicht
> sicher, ob sie richtig ist.
>  
> Fall 1: [mm]|a| \le |b|[/mm]
>  [mm]\parallel \! B \! \parallel = sup \left\{ |Bx| \; \big| \; |x| \le 1 \right\}[/mm]
>  
>  = sup [mm]\left\{ \left \| \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\}[/mm]
> = sup [mm]\left\{ \left \| \vektor{ax_1 \\ bx_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\}[/mm]
> = sup [mm]\left\{ \left \| \wurzel{a^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}[/mm]
> [mm]\le[/mm] sup [mm]\left\{ \left \| \wurzel{b^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}[/mm]
>  
> = sup [mm]\left\{ \left \| |b| \wurzel{x_1^2+x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}[/mm]
>  
> = |b|
>  
> Für den Fall [mm]|b| \le |a|[/mm] folgt:
>  [mm]\parallel \! B \! \parallel \le |a|[/mm]
>  
> Jetzt kommt mein Problem, denn eigentlich ist damit ja erst
> gezeigt, dass  [mm]\parallel \! B \! \parallel \le max(|a|,|b|)[/mm]
> und damit nicht die Gleichheit. Allerdings habe ich leider
> keine Ahnung, wie ich diese zeigen kann und wäre dankbar
> für jeden Tipp.

Naja, wenn du [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] geschickt wählst, siehst du, daß bei [mm] \le [/mm] nicht < stehen kann, also auch = vorkommt.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
Operatornorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Fr 11.06.2010
Autor: WiebkeMarie

Das verstehe ich nicht ganz. Ich dachte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] kann man nicht beliebig wählen, denn sie unterstehen doch der Bedingung [mm] \wurzel(x_1^2+x_2^2) \le [/mm] 1.

Bezug
                        
Bezug
Operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Fr 11.06.2010
Autor: statler


> Das verstehe ich nicht ganz. Ich dachte [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] kann
> man nicht beliebig wählen, denn sie unterstehen doch der
> Bedingung [mm]\wurzel(x_1^2+x_2^2) \le[/mm] 1.

Aber eben auch nur der. Was ist denn mit [mm] x_1 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] = 1 oder andersrum?

Gruß
Dieter


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]