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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 So 21.05.2006 | | Autor: | Sandy857 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie zu A [mm] \in L(\IR^n, \IR^m) [/mm] die Operatornorm bezüglich der 1-Norm auf [mm] \IR^n [/mm] unf [mm] \IR^m. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich dabei ein kleines Verständnisproblem:
Welche Form hat denn eigentlich A?
Sieht A eventuell so aus: [mm] \pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,m} \\ \\ a_{n,1} & ... & a_{n,m} }
[/mm]
Dann würde die Operatornorm folgendermaßen lauten: [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel a_{ij} \parallel [/mm] mit i=1,...,n und j=1,...,m
Vielen Dank für eure Hilfe
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Zu Deinem Verständnisproblem:
Operatoren, von endlich-dim. Räumen in endlich-dim. Räume lassen sich stets als Matrizen interpretieren.
Von daher kannst Du (in leichter Abwandlung zu Deiner Darstellung) den Operator A durchaus als m [mm] \times [/mm] n - Matrix interpretieren.
Leider weiß ich momentan nicht, was unter der 1-Norm zu verstehen ist, aber vielleicht reicht die Antwort ja bereits aus.
Im übrigen (nur als Hinweis) sind Normen in endlichen Räumen stets vergleichbar, weshalb man sich die Arbeit durch geschickte Normwahl häufig vereinfachen kann.
Gruß, Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 21.05.2006 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
also zur 1-Norm:
sei [mm] x=(x_{1},..,x_{n})\in\IR^{n}, [/mm] dann ist die 1-Norm (in der Regel) wie folgt definiert: [mm] \parallel x\parallel_{1}:=\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|.
[/mm]
Und die Operator-Norm definiert man so:
[mm] \parallel A\parallel :=\sup_{x\in\IR^{n},x\neq 0} \dfrac{\parallel Ax\parallel_{1,\IR^{m}}}{\parallel x\parallel_{1,\IR^{n}}}.
[/mm]
Deine Aufgabe ist eine reine Rechenaufgabe.....
Gruß
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