Offenheit bzgl. Spurmetrik < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei (X,d) metrischer Raum, [mm] A\subseteq X [/mm] und [mm] d_{A} [/mm] die durch d induzierte Spurmetrik [mm] (d_{a}=d|_{A\times A}). [/mm] Dann gilt:
[mm] B\subseteq A [/mm] offen in [mm] (A,d_{A}) \gdw [/mm] es gibt [mm] U\subseteq X [/mm] offen in (X,d) mit [mm] B=A\cap U [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabenstellung fehlt mir eine Idee, um die Rückrichtung zu zeigen. Die Hinrichtung hab ich gezeigt, indem ich einfach alle Epsilon-Umgebungen um die Elemente in B zusammengefasst habe und dies als U definiert hab und dann gezeigt habe, dass die Mengen B und [mm] A\cap [/mm] U gleich sind. Aber bei der Rückrichtung krieg ich das nicht hin, aber ich hab auch keine andere Idee, wie man das zeigen könnte. Wäre hilfreich, wenn mich einer auf die richtige Fährte locken könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:01 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X,d) metrischer Raum, [mm]A\subseteq X[/mm] und [mm]d_{A}[/mm] die durch
> d induzierte Spurmetrik [mm](d_{a}=d|_{A\times A}).[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]B\subseteq A[/mm] offen in [mm](A,d_{A}) \gdw[/mm] es gibt [mm]U\subseteq X[/mm]
> offen in (X,d) mit [mm]B=A\cap U[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabenstellung fehlt mir eine Idee, um die
> Rückrichtung zu zeigen. Die Hinrichtung hab ich gezeigt,
> indem ich einfach alle Epsilon-Umgebungen um die Elemente
> in B zusammengefasst habe und dies als U definiert hab und
> dann gezeigt habe, dass die Mengen B und [mm]A\cap[/mm] U gleich
> sind. Aber bei der Rückrichtung krieg ich das nicht hin,
> aber ich hab auch keine andere Idee, wie man das zeigen
> könnte. Wäre hilfreich, wenn mich einer auf die richtige
> Fährte locken könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Es sei also [mm]B=A\cap U[/mm] mit U offen in X.
Sei [mm] x_0 \in [/mm] B. Dann ist [mm] x_0 \in [/mm] U. Es gibt also ein r>0 mit:
[mm] \{x \in X: d(x,x_0)
Damit ist
[mm] \{x \in A: d_A(x,x_0)
FRED
|
|
|
|
