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Offene M., Komplement usw: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 So 10.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Sei [mm] D = \{(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y \geqslant 0 \medspace \} [/mm]

Hallo,
für das o.g. Skriptbeispiel gibt es folgende Angaben.

1) D ist nicht offen [mm] [(0,0) \in D [/mm] und [mm] U_\epsilon (0,0) \notin D \medspace \forall \epsilon > 0 \medspace ][/mm]

Frage: D ist nicht offen. Ich schreib das dem Prof in mathematisch korrekter Form. Für den schnellen Blick ist D doch aber nicht offen, da [mm] \ge [/mm] D abschließt?

2) D ist abgeschlossen, denn [mm] \IR^2 \medspace \textbackslash \medspace D [/mm] ist offen.

Wenn D nicht offen, ist das Komplement [mm] \IR \medspace \textbackslash \medspace D [/mm] offen? Ist D immer abgeschlossen, wenn es nicht offen ist?

3) D ist nicht beschränkt, denn [mm] (x,0) \in D \medspace \forall x \ge 0 [/mm]

D ist nicht beschränkt, da x unendlich große Werte annehmen kann? Ist das für euch nachvollziehbar, weshalb statt y null angegeben wurde?

4) D ist nicht kompakt, weil nicht beschränkt.

Kompakt = beschränkt und abgeschlossen, ist klar.

Viele Grüße,
bondi

        
Bezug
Offene M., Komplement usw: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 So 10.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sei [mm]D = \{(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y \geqslant 0 \medspace \}[/mm]
>  
> Hallo,
>  für das o.g. Skriptbeispiel gibt es folgende Angaben.
>  
> 1) D ist nicht offen [mm][(0,0) \in D[/mm] und [mm]U_\epsilon (0,0) \notin D \medspace \forall \epsilon > 0 \medspace ][/mm]
>  
> Frage: D ist nicht offen. Ich schreib das dem Prof in mathematisch korrekter Form.

Wieso möchtest du ihm das schreiben, wenn es doch schon im Skript steht?

> Für den schnellen Blick ist D doch aber nicht offen, da [mm]\ge[/mm] D abschließt?

Der schnelle Blick kann manchmal aber auch trüben.
Wäre bspw: [mm]D = \{(x,y) \in [0,\infty)^2 \medspace | \medspace x+y \geqslant 0 \medspace \}[/mm] so wäre D sehr wohl offen.

> 2) D ist abgeschlossen, denn [mm]\IR^2 \medspace \textbackslash \medspace D[/mm]
> ist offen.
>  
> Wenn D nicht offen, ist das Komplement [mm]\IR \medspace \textbackslash \medspace D[/mm] offen? Ist D immer abgeschlossen, wenn es nicht offen ist?

Nein, D könnte weder offen noch abgeschlossen sein.
Hier müsste man erst zeigen, dass [mm] $\IR^2\setminus{D}$ [/mm] wirklich offen ist.

> 3) D ist nicht beschränkt, denn [mm](x,0) \in D \medspace \forall x \ge 0[/mm]
> D ist nicht beschränkt, da x unendlich große Werte
> annehmen kann? Ist das für euch nachvollziehbar, weshalb
> statt y null angegeben wurde?

Wenn D beschränkt wäre, müsste [mm] $\parallel(x,0)\parallel$ [/mm] beschränkt sein.
Nun berechne mal [mm] $\parallel(x,0)\parallel$. [/mm] Da dies eine sehr einfache Form hat, hat man sich wohl dafür entschieden.

> 4) D ist nicht kompakt, weil nicht beschränkt.
>  
> Kompakt = beschränkt und abgeschlossen, ist klar.

Ok.

Gruß,
Gono

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