Offen, paarweise disjunkte I. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 06.02.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei [mm] U\subset \IR [/mm] offen. Dann [mm] \exists [/mm] abzählbare Menge von offenen,paarweisen disjunkten Intervallen [mm] I_j =(a_j, b_j [/mm] ), j [mm] \in [/mm] J mit U= [mm] \bigcup_{j \in J} I_j [/mm] |
Beweis:
Für x [mm] \in [/mm] U defeniere
a(x) = inf [mm] \{ a \in \IR: (a,x] \subset U \}, [/mm] a(x) < x
b(x) = sup [mm] \{ b \in \IR: [x,b) \subset U \}, [/mm] b(x) > x
Da U offen (a(x),b(x)) [mm] \subseteq [/mm] U
U= [mm] \bigcup_{x \in U} [/mm] (a(x),b(x))
Partition von U:
Aus jeder Äquivalenzklasse der so induzierten Äquivalenzrelation auf U wählen wir einen rationalen Repräsentanten [mm] x_j [/mm] , j [mm] \in [/mm] J (DICHTHEIT)-> höchstens abzählbare viele Äquivalenzklassen auftreten.
U = [mm] \bigcup_{j \in J } (a(x_j),b(x_j))
[/mm]
Hallo ich verstehe den Beweis nicht zu 100%
Was ist da für eine Äquivalenzrelation gemeint, wie sieht diese aus?
Warum beweist die abzählbarkeit der Äquivalenzklassen schon die paarweise Disjunktheit??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei [mm]U\subset \IR[/mm] offen. Dann [mm]\exists[/mm] abzählbare Menge von
> offenen,paarweisen disjunkten Intervallen [mm]I_j =(a_j, b_j[/mm] ),
> j [mm]\in[/mm] J mit U= [mm]\bigcup_{j \in J} I_j[/mm]
> Beweis:
> Für x [mm]\in[/mm] U defeniere
> a(x) = inf [mm]\{ a \in \IR: (a,x] \subset U \},[/mm] a(x) < x
> b(x) = sup [mm]\{ b \in \IR: [x,b) \subset U \},[/mm] b(x) > x
>
> Da U offen (a(x),b(x)) [mm]\subseteq[/mm] U
> U= [mm]\bigcup_{x \in U}[/mm] (a(x),b(x))
>
> Partition von U:
> Aus jeder Äquivalenzklasse der so induzierten
> Äquivalenzrelation auf U wählen wir einen rationalen
> Repräsentanten [mm]x_j[/mm] , j [mm]\in[/mm] J (DICHTHEIT)-> höchstens
> abzählbare viele Äquivalenzklassen auftreten.
> U = [mm]\bigcup_{j \in J } (a(x_j),b(x_j))[/mm]
>
> Hallo ich verstehe den Beweis nicht zu 100%
> Was ist da für eine Äquivalenzrelation gemeint, wie
> sieht diese aus?
Zwei Intervalle (a(x),b(x)) und (a(y),b(y)), x,y [mm] $\in$ [/mm] U
gehören zur selben Äquivalenzklasse, wenn (a(x),b(x)) = (a(y),b(y)).
> Warum beweist die abzählbarkeit der Äquivalenzklassen
> schon die paarweise Disjunktheit??
Die Disjunktheit entsteht durch die Äquivalenzklassenbildung bzw.,
dadurch dass aus jeder Äquivalenzklasse nur ein Repräsentant ausgewählt wird.
(Auch endliche Mengen sind abzählbar)
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Warum ist a bzw b überhaupt von dem x-Wert in U abhängig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo
> Warum ist a bzw b überhaupt von dem x-Wert in U
> abhängig?
Wegen der Definition von a(x) und b(x):
a(x) = inf $ [mm] \{ a \in \IR: (a,x] \subset U \}$
[/mm]
b(x) = sup $ [mm] \{ b \in \IR: [x,b) \subset U \}$
[/mm]
>
> LG
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 06.02.2013 | | Autor: | sissile |
Schon.
Aber nimmt man nicht sowieso immer für a das minimum von U und für b das Maximum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
vielleicht doch ein paar Worte mehr.
Wenn U einfach ein offenes Intervall ist,
gibt es nur eine Äquivalenzklasse, eben dieses Intervall.
Interessanter wird es, wenn U nicht zusammenhängend ist.
Je "zerrissener" U ist, desto mehr Äqquivalenzklassen gibt es.
Gruß
meili
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