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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:13 Do 20.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:=[0,1]\to \IR [/mm] die Funktion [mm] f(x)=x^2. [/mm] Das Intervall [0,1] wird äquidistant durch [mm] Z_n:= [/mm] { [mm] \bruch{k}{2^n}|1 \le k<2^n [/mm] } geteilt. Berechnen Sie die Obersummen [mm] O(Z_n,f) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}O(Z_n,f). [/mm] |
Hallo,
ich habe zu der Aufgabe ein paar Fragen zur Berechnung des Grenzwertes.
Duch [mm] Z_n [/mm] wird [0,1] gleichmäßig geteilt. Für n=1 gilt [mm] Z_1={ \bruch{1}{2}}, [/mm] für n=2 gilt [mm] Z_2={ \bruch{1}{4}, \bruch{2}{4}, \bruch{3}{4}} [/mm] usw....
Die Obersummen berechnen sich nach [mm] O(Z_n,f)=\summe_{=1}^{n}(Z_i_+_1-Z_i)*sup(f|Z_i,Z_i_+_1).
[/mm]
Für [mm] O(Z_3,f) [/mm] ergibt sich damit z.B. [mm] O(Z_3,f)= \bruch{1}{8}*( (\bruch{1}{8})^2+(\bruch{2}{8})^2+(\bruch{3}{8})^2+(\bruch{4}{8})^2+(\bruch{5}{8})^2+(\bruch{6}{8})^2+(\bruch{7}{8})^2+(\bruch{8}{8})^2)
[/mm]
Für konkrete Werte n ist das soweit klar. Aber wie sieht [mm] O(Z_n,f) [/mm] in allgemeiner Form aus?
Und wie kann ich danach von dem allgemeingültigen Ausdruck [mm] O(Z_n,f) [/mm] den Grenzwert für [mm] n->\infty [/mm] berechnen?
Wer ist so nett und hilft mir ein Stück weiter?
Besten Dank im Voraus.
Gruß
didi_160
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Wenn du ein INtervall [0;b] hast, wird das in n Intervalle der Breite h=b/n unterteilt. Du hast dann
[mm] $\integral_0^b f=\summe_{i=1}^n h*f(ih)=h*\summe_{i=1}^n [/mm] f(ih)$
und in dem Fall mit f=x²
[mm] $\integral_0^b x^2dx=h*\summe_{i=1}^n i^2h^2=h^3*\summe_{i=1}^n i^2=\bruch{b^3}{n^3}*\summe_{i=1}^n i^2$
[/mm]
Nun kannst du die Summenformel für quadrate benutzen. Wenn du dies danach mit dem n³ im Nenner verrechnest, kannst du den Grenzwert n->oo problemlos bestimmen, der sollte ja 1/3 sein.
Im Prinzip läuft das bei allen Potenzen so.
Integrierst du andere Funktionen, wird es meistens etwas komplizierter.
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