Oberflächenberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Das Ellipsoid mit Mittelpunkt (0,0,0) und den Achsenlängen 5,3,3 kann durch die Gleichung [mm] \bruch{x^2}{25}+\bruch{y^2}{9}+\bruch{z^2}{9}=1 [/mm] beschrieben werden.
Berechnen Sie die Oberfläche dieses Ellipsoids, indem Sie es als Rotationskörper auffassen. |
Um diese Aufgabe zu lösen wählte ich die erste guldin'sche Regel.
Da mir nur der Funktionsgraph auf der xy-Achse interessiert lasse ich den z-Ausdruck weg, weil die Länge der z und y-Achse gleich sonst wäre es nich rotationssymmetrisch. Ich forme f(x) nach y um und komme auf folgenden Ausdruck: [mm] f(x)=\bruch{3}{5}*\wurzel{5^2-x^2}
[/mm]
Die guldin'sche Regel lautet:
[mm] A=2\pi\integral_{-a}^{a}{f(x)*\wurzel{1+[f'(x)]^2}dx}
[/mm]
Jetzt leite ich f(x) nach x ab und komme auf folgenden Ausdruck: [mm] f'(x)=-\bruch{3}{5}\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}
[/mm]
Einsetzen in die guldin'sche Formel:
[mm] A=2\pi\integral_{-a}^{a}{\bruch{3}{5}*\wurzel{5^2-x^2}*\wurzel{1+[-\bruch{3}{5}\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}]^2}dx}
[/mm]
Welche Technik muss ich anwenden um diesen Ausdruck integrieren zu können? Ist dieser Lösungsansatz überhaupt richtig?
Danke für eure Hilfe!
mfg
sunmoonlight
|
|
| |
|
Hallo sunmoonlight,
> Das Ellipsoid mit Mittelpunkt (0,0,0) und den Achsenlängen
> 5,3,3 kann durch die Gleichung
> [mm]\bruch{x^2}{25}+\bruch{y^2}{9}+\bruch{z^2}{9}=1[/mm] beschrieben
> werden.
> Berechnen Sie die Oberfläche dieses Ellipsoids, indem Sie
> es als Rotationskörper auffassen.
> Um diese Aufgabe zu lösen wählte ich die erste guldin'sche
> Regel.
> Da mir nur der Funktionsgraph auf der xy-Achse
> interessiert lasse ich den z-Ausdruck weg, weil die Länge
> der z und y-Achse gleich sonst wäre es nich
> rotationssymmetrisch. Ich forme f(x) nach y um und komme
> auf folgenden Ausdruck: [mm]f(x)=\bruch{3}{5}*\wurzel{5^2-x^2}[/mm]
>
> Die guldin'sche Regel lautet:
> [mm]A=2\pi\integral_{-a}^{a}{f(x)*\wurzel{1+[f'(x)]^2}dx}[/mm]
>
> Jetzt leite ich f(x) nach x ab und komme auf folgenden
> Ausdruck: [mm]f'(x)=-\bruch{3}{5}\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}[/mm]
>
> Einsetzen in die guldin'sche Formel:
>
> [mm]A=2\pi\integral_{-a}^{a}{\bruch{3}{5}*\wurzel{5^2-x^2}*\wurzel{1+[-\bruch{3}{5}\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}]^2}dx}[/mm]
>
> Welche Technik muss ich anwenden um diesen Ausdruck
> integrieren zu können? Ist dieser Lösungsansatz überhaupt
> richtig?
Den Ausdruck unter der Wurzel kannst Du in der Form [mm]\bruch{Z}{N}[/mm] schreiben.
Dann läßt sich der Integrand einfacher schreiben.
Um dieses Integral dann zu lösen, verwendest Du eine bestimmte Substitution.
> Danke für eure Hilfe!
> mfg
> sunmoonlight
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
