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| Aufgabe | (a) Sei A [mm] \in \IZ^{nxn} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen [mm] a_{ii} [/mm] = 1. Zeigen Sie, dass A
invertierbar ist und das [mm] A^{-1} [/mm] ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix mit ganzzahligen Einträgen und Diagonaleinträgen [mm] (A^{1})_{ii} [/mm] = 1 ist.
(b) Eine Elementarmatrix L [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] ist eine Matrix, die eine elementare Zeilenumformung
beschreibt. Zeigen Sie, dass jede Matrix A [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] das endliche Produkt von Elementrmatrizen ist. |
Guten Abend,
ich tue mir immer noch schwer mit allgemeinen Beweise und der oberen Dreiecksmatrix. Kann mir jemand sagen, wie genau ich hier vorgehen muss und was zu tun ist?
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> (a) Sei A [mm]\in \IZ^{nxn}[/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit
> Diagonaleinträgen [mm]a_{ii}[/mm] = 1. Zeigen Sie, dass A
> invertierbar ist und das [mm]A^{-1}[/mm] ebenfalls eine obere
> Dreiecksmatrix mit ganzzahligen Einträgen und
> Diagonaleinträgen [mm](A^{1})_{ii}[/mm] = 1 ist.
> ich tue mir immer noch schwer mit allgemeinen Beweise und
> der oberen Dreiecksmatrix. Kann mir jemand sagen, wie genau
> ich hier vorgehen muss und was zu tun ist?
Hallo,
was Du tun "mußt", weiß ich nicht, aber ich kann Dir sagen, wie ich das angehen würde.
Ich würde da völlig hausbacken und ohne große Raffinesse tätig werden, und schon jetzt bin ich mir sicher, daß man mit Nachdenken auch einen eleganteren Weg finden könnte...
Zunächst einmal kannst Du Dir überlegen, daß A invertierbar ist. (Warum?)
Als nächstes würde ich zeigen, daß [mm] A^{-1} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, und zwar würde ich das so machen:
Sei [mm] A:=(a_i_j), A^{-1}:=(b_i_j)
[/mm]
Es ist [mm] E=AA^{-1}=(a_i_j)(b_i_j)=(\summe [/mm] ...)
Diese Komponenten, die aus gewissen Summen bestehen, würde ich nun auswerten. Du weißt ja, daß die Einträge der Produktmatrix außerhalb der Hauptdiagonalen =0 sind und auf der Hausptdiagonalen =1.
Ebenso weißt Du, daß A eine obere Dreiecksmatrix ist, daß [mm] a_i_j=0 [/mm] für j<i und [mm] a_i_j=1 [/mm] für j=i.
Wenn Du dann hast, dasß [mm] A^{-1} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, kannst Du Dir überlegen, warum die Einträge ganze Zahlen sein müssen. Das ist dann Stufe drei der Bemühungen.
Mühselig ernährt sich das Eichhörnchen...
Gruß v. Angela
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