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Obere Dreiecksmatrix: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 So 27.10.2019
Autor: conquernut

Aufgabe
Beweisen Sie: IstA∈n(n,R)beliebig, so gibt es stets ein k∈N für welches [mm] A^k= [/mm] 0 gilt.

Hallo zusammen,

habe diese Aufgabe gestellt bekommen und weiß nicht weiter. Es geht darum zu zeigen das ich eine obere Dreiecksmatrix durch multiplizieren mit sich selber immer in die Nullmatrix umwandeln kann. Mir ist zwar bewusst, dass dies funktioniert, da bei jeder Multiplikation eine Diagonale mehr mit Nullen besetzt wird, doch fehlt mir bei dem formalen Beweis die Lösungsidee.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Obere Dreiecksmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 So 27.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Beweisen Sie: IstA∈n(n,R)beliebig

ich habe diese Notation noch nie gesehen, aber nach deiner Aufgabenstellung vermute ich, dass du eine (strikte) obere Dreiecksmatrix meinst.

Wie schnell du das zeigen kannst, hängt davon ab, was ihr bereits hattet:

1.) Das Resultat folgt sofort aus dem Satz von Cayley-Hamilton.
2.) Oder du musst per Induktion zeigen, dass [mm] $A^j$ [/mm] nur noch Nullen auf allen (j-1) Hauptdiagonalen hat.

Gruß,
Gono


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