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| Aufgabe | [mm] s_{n}=h\summe_{k=o}^{n-1}(kh)^{2} [/mm] (Untersumme)
Berechne die Fläche der Untersumme.
[mm] (h=\bruch{a}{n}) [/mm] |
Hi zusammen,
ich habe bei folgender Aufgabe ein kleines Problem. Die Fragestellung an sich ist mir klar, ich weiss auch theoretisch was zu tun wäre =) Nur bei der Ausführung happerts ein wenig:
Also ich muss zuerst die explizite Form der Untersumme herausfinden um dann das Integral zu berechnen.
Also:
[mm] s_{n}=\bruch{a}{n}*\summe_{k=o}^{n-1}(k*a/n)^{2}
[/mm]
[mm] s_{n}=\bruch{a}{n}*\summe_{k=o}^{n-1}(k^{2}*(a/n)^{2})
[/mm]
[mm] s_{n}=\bruch{a}{n}*(\bruch{a^{2}*(n-1)}{n^{2}}*\summe_{k=o}^{n-1}k^{2})
[/mm]
Ist dies soweit einigermassen korrekt? Nun habe ich das Problem mit der Summe.. Ich weiss nicht wie ich das konkret schreiben kann. Kann mir evt jemand von euch weiterhelfen? Wäre sehr dankbar!
Ersti
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[mm]s_{n}=\bruch{a}{n}*\summe_{k=o}^{n-1}(k^{2}*(a/n)^{2})[/mm]
Bis hier korrekt, aber nun nicht [mm]s_{n}=\bruch{a}{n}*(\bruch{a^{2}*(n-1)}{n^{2}}*\summe_{k=o}^{n-1}k^{2})[/mm]
sondern
[mm]s_{n}=\bruch{a}{n}*(\bruch{a^{2}}{n^{2}}*\summe_{k=o}^{n-1}k^{2})[/mm]
[mm]s_{n}=\bruch{a^{3}}{n^{3}}*\summe_{k=o}^{n-1}k^{2}[/mm]
Für die Summe gibt es nun eine Formel, die einzusetzen ist:
[mm]s_{n}=\bruch{a^{3}}{n^{3}}*\bruch{n(2n-1)(n-1)}{6}[/mm]
[mm]s_{n}=\bruch{a^{3}}{6}*1*(2-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{1}{n})[/mm]
mit dem Grenzwert [mm]s_{n}=\bruch{a^{3}}{3}[/mm]
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Vielen herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung!
Ist mir soweit jetzt alles klar *juhui* Habe nur noch eine Frage:
Wie kommst du auf die Formel um [mm] \summe{i=0}{n-1}k^{2} [/mm] umzuschreiben.
Vielen lieben Dank Ersti
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Hallo ersti,
das ist die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\summe_{i=0}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Hier läuft die Summe aber eins weniger weit, also nur bis n-1, also
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}i^2=\frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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