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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 12.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
man kann ja Polynome mit $n+1$ Knoten mindestens bis zum Grad $n$ exakt mit der Integrationsformel [mm] $I_n(f)= \summe_{j=0}^{n} w_j f(x_j)$ [/mm] integrieren.
Für die verschiedenen Newton-Cotes-Formeln kann man nun die Ordnung und den Quadraturfehler bestimmen.
Am Quadraturfehler erkenne ich doch dann, wie stark die gefundene Lösung vom gesuchten Integral zwischen den Stützstellen abweicht, oder?
Daher benutzt man zusammengesetzte Quadraturformeln, die auf Teilintervallen angewandt werden. Hier fällt der Quadraturfehler doch kleiner aus, oder?
Betrachtet man das Konvergenzverhalten [mm] $I_n(f) \to [/mm] I(f)$, so erkennt man dann, dass die Newton-Cotes-Formeln selten die Konvergenzbedingungen erfüllen, jedoch jede zusammengesetzte Newton-Cotes-Formel fester Ordnung bei wachsender Anzahl der Teilintervalle konvergiert.
Wie komme ich dann von hier zur Gauss-Quadratur?
Ich versuche, den Überblick über die vielen Formeln und Zusammenhänge zu bekommen und mich ein wenig von den reinen Formeln zu lösen. Vielleicht kann mir dabei ja jemand ein wenig helfen.
Danke und viele grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
> man kann ja Polynome mit [mm]n+1[/mm] Knoten mindestens bis zum Grad
> [mm]n[/mm] exakt mit der Integrationsformel [mm]I_n(f)= \summe_{j=0}^{n} w_j f(x_j)[/mm]
> integrieren.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für die verschiedenen Newton-Cotes-Formeln kann man nun die
> Ordnung und den Quadraturfehler bestimmen.
> Am Quadraturfehler erkenne ich doch dann, wie stark die
> gefundene Lösung vom gesuchten Integral zwischen den
> Stützstellen abweicht, oder?
Was meinst du mit "zwischen den Stützstellen"? Es ist die Abweichung des tatsächlichen Integrals von der Näherungsformel, also:
[mm] $|R_n(f)| [/mm] = [mm] \left\vert \int_a^b f(x)\, dx - Q_af \right\vert$.
[/mm]
> Daher benutzt man zusammengesetzte Quadraturformeln, die
> auf Teilintervallen angewandt werden. Hier fällt der
> Quadraturfehler doch kleiner aus, oder?
Man erhöht also die Anzahl der Stützstellen. Die Abstände zwischen den Stützstellen sind starr, d.h. die Stützstellen werden nicht mitbestimmt (siehe unten).
> Betrachtet man das Konvergenzverhalten [mm]I_n(f) \to I(f)[/mm], so
> erkennt man dann, dass die Newton-Cotes-Formeln selten die
> Konvergenzbedingungen erfüllen, jedoch jede
> zusammengesetzte Newton-Cotes-Formel fester Ordnung bei
> wachsender Anzahl der Teilintervalle konvergiert.
Genaue Abschätzungen für die Fehler findest du ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Wie komme ich dann von hier zur Gauss-Quadratur?
Den Newton-Cotes-Formeln liegt die Vorstellung vorgegebener Stützstellen zugrunde. Bei der Gauß-Quadratur
[mm] $\int\limits_a^b f(x)\, [/mm] dx = [mm] \sum\limits_{\nu =1}^n \gamma_{n \nu} f(x_{n \nu}) [/mm] + R_nf$
sieht man jedoch nicht nur wie bisher die Gewichte [mm] $\gamma_{n1},\ldots, \gamma_{nn}$, [/mm] sondern auch die Stützstellen [mm] $x_{n1},\ldots,x_{nn}$ [/mm] als Parameter an und versucht sie so zu bestimmen, dass eine möglichst hohe Genauigkeit der Quadraturformel erreicht wird.
Da die $2n$ Parameter [mm] $\gamma_{n\nu}$ [/mm] und [mm] $x_{n \nu}$ [/mm] $(1 [mm] \le \nu \le [/mm] n)$ zur Vefügung stehen, kann man fordern, dass alle Polynome bis zum Grad $2n-1$ exakt integriert werden sollen.
Liebe Grüße
Julius
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