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Numerische Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 09.12.2019
Autor: NathanR

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Summe der Gewichte von interpolatorischen Quadraturformeln immer
die Intervall-Länge

Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich mir das nicht zu einfach gemacht habe.


Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:






Zu zeigen ist ja [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) [/mm] dx = b - a $



Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm] (x) = 1$ ist.


Damit erhalten wir:


[mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b} L_{0}^{n} [/mm] (x) dx + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \int_{a}^{b} L_{n}^{n} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{a}^{b} L_{0}^{n} [/mm] (x) + [mm] \ldots [/mm] + [mm] L_{n}^{n} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{a}^{b} \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] 1 dx = [mm] [x]_{a}^{b}= [/mm] b - a $


Passt das so? Oder setze ich unbewusst irgend etwas voraus, was nicht notwendigerweise gegeben sein muss?




Grüße,

Nathan

        
Bezug
Numerische Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:54 Di 10.12.2019
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Summe der Gewichte von
> interpolatorischen Quadraturformeln immer
>  die Intervall-Länge
>  Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich mir das nicht zu
> einfach gemacht habe.
>  
>
> Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
>  
>
>
>
>
>
> Zu zeigen ist ja [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} = \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) dx = b - a[/mm]
>  
>
>
> Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} (x) = 1[/mm]
> ist.


Was bedeutet denn (x) ? Ich vermute, Du meinst mit  [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} (x) = 1[/mm]  das:

[mm]\sum\limits_{i = 0}^{n}L_i^n (x) = 1[/mm] .

Wenn ja, so stimmts.

>  
>
> Damit erhalten wir:
>  
>
> [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} = \sum\limits_{i = 0}^{n} \int_{a}^{b} L_{i}^{n}(x) dx = \int_{a}^{b} L_{0}^{n} (x) dx + \ldots + \int_{a}^{b} L_{n}^{n} (x) dx = \int_{a}^{b} L_{0}^{n} (x) + \ldots + L_{n}^{n} (x) dx = \int_{a}^{b} \sum\limits_{i = 0}^{n} (x) dx = \int_{a}^{b} 1 dx = [x]_{a}^{b}= b - a[/mm]
>  
>
> Passt das so?


Ja, es passt, wenn Du mit  [mm]\sum\limits_{i = 0}^{n} (x) = 1[/mm]  das

[mm]\sum\limits_{i = 0}^{n}L_i^n (x) = 1[/mm]

meinst.




> Oder setze ich unbewusst irgend etwas voraus,
> was nicht notwendigerweise gegeben sein muss?
>  
>
>
>
> Grüße,
>
> Nathan


Bezug
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