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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mo 09.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Wie viele Lösungen hat folgende Gleichung in [mm] \IR
[/mm]
[mm] z^8+2z^4+1=0 [/mm] |
Hallo,
hab mir zu der aufgabe schon ein paar gedanken gemacht aber wollte fragen ob ich das so rechnen kann:
[mm] z^8+2z^4+1=0
[/mm]
[mm] z^8+2z^4=-1
[/mm]
[mm] z^4(z^4+2)=-1
[/mm]
[mm] z^4=-1 [/mm] und [mm] z^4+2=-1
[/mm]
z= [mm] ^4\wurzel{-1} [/mm] -> error
[mm] z^4+2=-1
[/mm]
[mm] z^4=-3
[/mm]
[mm] z=^4\wuzel{-3} [/mm] -> error
es gibt keine lösung in [mm] \IR
[/mm]
kann ich das mit dem ausklammern so machen und wenn nicht wie kann ich das dann am besten lösen?
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Hallo,
nein, das kannst du hier so nicht machen. Dieser Trick geht nur, wenn auf der rechten Seite Null steht, denn $a*b=0 [mm] \; \Rightarrow [/mm] a=0 [mm] \text{ oder } [/mm] b=0$.
Zu deiner Aufgabe: Substituiere [mm] x:=z^4. [/mm] Dann erhälst du eine quadratische Gleichung in x, die du lösen kannst.
Anschließend zurücksubstituieren und z ermitteln.
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 09.11.2009 | | Autor: | glie |
> Wie viele Lösungen hat folgende Gleichung in [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]z^8+2z^4+1=0[/mm]
> Hallo,
>
> hab mir zu der aufgabe schon ein paar gedanken gemacht aber
> wollte fragen ob ich das so rechnen kann:
>
> [mm]z^8+2z^4+1=0[/mm]
> [mm]z^8+2z^4=-1[/mm]
> [mm]z^4(z^4+2)=-1[/mm]
>
> [mm]z^4=-1[/mm] und [mm]z^4+2=-1[/mm]
> z= [mm]^4\wurzel{-1}[/mm] -> error
> [mm]z^4+2=-1[/mm]
> [mm]z^4=-3[/mm]
> [mm]z=^4\wuzel{-3}[/mm] -> error
>
> es gibt keine lösung in [mm]\IR[/mm]
>
> kann ich das mit dem ausklammern so machen und wenn nicht
> wie kann ich das dann am besten lösen?
Genau hinschauen!
Stichwort Binomische Formel!!
Oder noch genauer hinschauen!!
Es gilt für alle [mm] $z\in \IR$ [/mm] folgendes:
[mm] $z^8\ge [/mm] 0$
[mm] $z^4\ge [/mm] 0$
Daraus folgt:
[mm] $z^8+2z^4+1\ge [/mm] 1$
Damit hat die Gleichung in [mm] $\IR$ [/mm] keine Lösung!
Gruß Glie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Di 10.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
Der Tipp mit der Binomischen Formel hat mir echt geholfen! Danke
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