Nullstellenbestimmung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Fr 21.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass f(x) genau 2 Nullstellen hat, von denen nur eine positiv ist.
f(x) := cosh(x) - x - 1 |
Hallo zusammen,
ich möchte die Nullstellen der obigen Funktion bestimmen, aber wenn ich f(x) = 0 setze komm ich nicht weiter:
f(x) = 0 <--> cosh(x) - x - 1 = 0 <---> cosh(x) - x = 1
weiter komm ich da nicht. Kann man das denn nach x auflösen?
Ich vermute, dass ich es gar nicht muss in dieser Aufgabe, aber in erster Linie interessiert mich, ob ich das überhaupt nach x auflösen kann.
Vielen Dank für alle Hilfen ;)
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Hallo MattiJo,
> Zeigen Sie, dass f(x) genau 2 Nullstellen hat, von denen
> nur eine positiv ist.
>
> f(x) := cosh(x) - x - 1
> Hallo zusammen,
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> ich möchte die Nullstellen der obigen Funktion bestimmen,
> aber wenn ich f(x) = 0 setze komm ich nicht weiter:
>
> f(x) = 0 <--> cosh(x) - x - 1 = 0 <--->
> cosh(x) - x = 1
>
> weiter komm ich da nicht. Kann man das denn nach x
> auflösen?
Nicht direkt.
Eine Nullstelle von [mm]f\left(x\right)[/mm] ist sofort ersichtlich.
> Ich vermute, dass ich es gar nicht muss in dieser Aufgabe,
> aber in erster Linie interessiert mich, ob ich das
> überhaupt nach x auflösen kann.
Die Lösungen kann man hier höchstens mit einem Iterationsverfahren bestimmen.
> Vielen Dank für alle Hilfen ;)
Gruß
MathePower
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Vielleicht hilft das (in irgendeiner Weise)
Es gilt:
[mm] \cosh(x) [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}.
[/mm]
Wenn du das bei dir einsetzt erhältst du
[mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] - x = 1
Aber ich glaube das hilft auch nicht weiter. Die Lösung 0 sieht man ja, aber es gibt noch eine zweite Lösung, die ungefähr bei 1,6 liegt.
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> Zeigen Sie, dass f(x) genau 2 Nullstellen hat, von denen
> nur eine positiv ist.
Hallo,
wie Du schon selbst vermutest, ist es gar nicht die Aufgabe, die Nullstellen auszurechnen.
Die erste findet man ja sehr leicht.
Für die weitere Lösung bedenke, daß die Funktion stetig ist.
Du brauchst nun nur rechts der Null zwei Stellen a und b finden mit f(a)<0 und f(b)>0, und schon weißt Du nach einem Satz der Vorlesung daß es zwischen a und b eine Nullstelle gibt.
Bleibt natürlich die Frage, ob es noch mehr Nullstellen geben kann.
Hierfür könnte das Anschauen der ersten Ableitung sinnvoll sein.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass f(x) genau 2 Nullstellen hat, von denen
> nur eine positiv ist.
>
> f(x) := cosh(x) - x - 1
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte die Nullstellen der obigen Funktion bestimmen,
> aber wenn ich f(x) = 0 setze komm ich nicht weiter:
>
> f(x) = 0 <--> cosh(x) - x - 1 = 0 <--->
> cosh(x) - x = 1
>
> weiter komm ich da nicht. Kann man das denn nach x
> auflösen?
Hallo,
verständlicher wird die Umstellung cosh(x) = x+1
Die gesuchten Nullstellen entsprechen den x-Koordinaten der Schnittpunkte von
y=cosh(x) und y=x+1.
Für den Beweis hast du drei Teilaufgaben abzuarbeiten:
1) Es gibt keine drei Schnittpunkte.
2) Es gibt Schnittpunkte.
3) Je einer hat eine positve bzw. negative x-Koordinate.
Aufgrund des Krümmungsverhalen von y=cosh(x) kann es mit der Geraden y=x+1 keinen dritten Schnittpunkt geben.
Andererseit MUSS y=x+1 Schnittpunkte mit y=cosh(x) besitzen, weil an der Stelle x=0 der Funktionswert von x+1 größer ist als der Funktionswert von cosh(x), für x<-1 aber der Funktionswert von x+1 negativ (und damit kleiner als die ausschließlich positiven Werten von coshx) ist.
Wegen der Stetigkeit beider Funktionen gibt es einen Schnittpunkt im negativen Bereich. Mit einer geeigneten Abschätzung kannst du noch zeigen, dass es einen im positiven Bereich geben muss.
Viele Grüße
Abakus
> Ich vermute, dass ich es gar nicht muss in dieser Aufgabe,
> aber in erster Linie interessiert mich, ob ich das
> überhaupt nach x auflösen kann.
> Vielen Dank für alle Hilfen ;)
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