Nullstellenberechnung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo ich soll bei folgender Funktion die Nullstellen berechnen:
[mm] $p(x)=x^6 [/mm] - (1+i)$
[mm] $0=x^6-1-i$
[/mm]
[mm] $x^6=1+i$
[/mm]
[mm] $x=\wurzel[6]{1+i}$
[/mm]
So hätte ich es ganz einfach gemacht, aber das ist doch mit sehr großer Wahrscheinlichkeit falsch oder noch nicht fertig oder?
Ich habe erst gerade angefangen die Komplexen Zahlen kennen zu lernen und weiß noch nicht wirklich wie ich damit umgehen soll.
mfg Duckx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, das ist etwas knapp. Hattet ihr schon die Polardarstellung? Also dass man eine komplexe Zahl z schreiben kann als [mm] re^{i\varphi}, [/mm] wobei r der Betrag von z ist ($|z|$) und [mm] \varphi [/mm] der Winkel (zwischen 0 und [mm] $2\pi$) [/mm] zwischen z und der x-Achse. z.B. wäre dann $i = [mm] 1*e^{\frac{\pi}{2}i}$.
[/mm]
Dann kannst du für x den Ansatz [mm] r*e^{i\varphi} [/mm] machen und $1+i$ auch in dieser Darstellung schreiben.
Aber falls ich jetzt zu viel unbekanntes geschrieben habe: Sag mir mal, was ihr schon so hattet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Achso ja das hatten wir:
allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich das jetzt machen soll, dadurch dass ich eine wurzel dort stehen habe. Könntest du das ausführlicher machen bitte?
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Hallo nochmal,
lies mal meine Antwort.
Wandle 1+i in die Polarform um und wende die  Moivre-Formel an.
Wenn Du willst, kannst Du die Lösungen ja danach immer noch wieder in die kartesische Form bringen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok danke erstmal für die Hilfe :)
Ich hätte dann raus:
$ [mm] x^6 [/mm] \ = \ [mm] 6\cdot{}\left[\cos\left(6\cdot{}\frac{1}{4}\pi\right)+i\cdot{}\sin\left(6\cdot{}\frac{1}{4}\pi\right)\right] [/mm] $
Ist es soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Sa 27.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist falsch
1+i hat den [mm] Betrag\wurzel(2) [/mm] und den Winkel [mm] \pi/4+k*2\pi
[/mm]
wie kommst du auf die 6, ich denke du hast [mm] (1+i)^6 [/mm] (falsch) gerechnet aber du willst doch die Wurzel?
wie ziehst du die 6 te wurzel aus [mm] e^7 [/mm] etwa?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich habe die Moivre-Formel auf anraten von reverend angewandt wenn das so richtig ist? für r meinte ich 8 sorry :)
und ist [mm] $tan(\alpha)$ [/mm] nicht [mm] $\frac{y}{x}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Formel ist schon okay, die von Dir eingesetze Potenz aber nicht. Die 6. Wurzel ergibt eine Potenz von [mm] \bruch{1}{6} [/mm]. Außerdem musst Du berücksichtigen, dass eine Gleichung 6. Grades 6 Nullstellen besitzt.
Was das für die Formel von Moivre bedeutet, habe ich hier schon mal zusammengeschrieben gehabt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Also wäre dann meine Gleichung:
[mm] $x=\wurzel{2}^{\bruch{1}{6}} \cdot (\cos (\bruch{1}{24}\pi [/mm] + [mm] \bruch{k}{6} [/mm] 2 [mm] \pi) [/mm] + i [mm] \sin (\bruch{1}{24}\pi [/mm] + [mm] \bruch{k}{6} [/mm] 2 [mm] \pi) [/mm] ) $
Ist es jetzt einigermaßen richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja. das sieht jetzt gut aus. Und die 6 Lösungen bekommst Du, indem Du k von 0 bis 5 laufen lässt. Das sieht man sehr schön das Charakteristische solch einer Lösung, denn alle Lösungen liegen auf einem Kreis, dessen Radius gerade der n-ten Wurzel des Radius der komplexen Zahl entspricht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok dankeschön :)
Ich habe das mal ausgerechnet und habe folgendes herausbekommen:
[mm] $x_1=1,05+0,138i$
[/mm]
[mm] $x_2=0,4054+0,979i$
[/mm]
[mm] $x_3=-0,6452+0,84047i$
[/mm]
[mm] $x_4=-1,05-0,1382i$
[/mm]
[mm] $x_5=-0,405-0,979i$
[/mm]
[mm] $x_6=0,6452-0,84i$
[/mm]
Ist das korrekt?
Wie genau sollte man soetwas angeben?
Gibt es da irgendeine bestimmte länge woran man sich richten sollte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Duckx,
mehr als zwei Stellen nach dem Komma bringt nichts mehr normalerweise. An den Werten siehst Du sehr schön diejenigen Werte, die sich gegenüber liegen.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Duckx,
ohne die Polardarstellung, nach der Teufel fragt, wäre das hier eine kaum zu lösende Aufgabe.
> ich soll bei folgender Funktion die Nullstellen
> berechnen:
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> [mm]p(x)=x^6 - (1+i)[/mm]
> [mm]0=x^6-1-i[/mm]
> [mm]x^6=1+i[/mm]
> [mm]x=\wurzel[6]{1+i}[/mm]
>
> So hätte ich es ganz einfach gemacht, aber das ist doch
> mit sehr großer Wahrscheinlichkeit falsch oder noch nicht
> fertig oder?
Falsch ist noch nichts. Es fragt sich nur, was eigentlich [mm] \wurzel[6]{1+i} [/mm] ist. Das lässt sich auch in der Form a+bi darstellen, allerdings gibt es sechs Lösungen, wie Dir die Moivre-Formel (<- click!) verrät.
"Zu Fuß" sind diese Lösungen aber kaum zu finden. Gleichungen sechsten Grades sind ja irgendwie unangenehm...
> Ich habe erst gerade angefangen die Komplexen Zahlen
> kennen zu lernen und weiß noch nicht wirklich wie ich
> damit umgehen soll.
Keine Angst, man gewöhnt sich dran.
Grüße
reverend
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