Nullstellen von quadr. Fkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Do 01.12.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Morgen,
zu folgender Aufgabe habe ich mir folgende Überlegungen gemacht:
Aufgabe: Wieviele reelle Nullstellen kann die Funktion [mm] f(x)=x^2+ax+b [/mm] mit a,b [mm] \in \IR [/mm] maximal besitzen? Benennen sie sämtliche Nullstellen in [mm] \IR [/mm] und in [mm] \IC, [/mm] sowie die Bedingungen für deren Existenz.
Die Funktion [mm] f(x)=x^2+ax+b [/mm] kann im Reellen maximal zwei Nullstellen besitzen und zwar
x= [mm] \bruch{-a}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{ \bruch{a^2}{4} - b} [/mm] oder
x= [mm] \bruch{-a}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{ \bruch{a^2}{4} - b}, [/mm]
sofern [mm] \bruch{a^2}{4} [/mm] - b > 0.
Im Komplexen können maximal vier Nullstellen vorhanden sein, einerseits die beiden Nullstellen, wenn [mm] \bruch{a^2}{4} [/mm] - b > 0 und andererseits die beiden "imaginären" Lösungen, wenn [mm] \bruch{a^2}{4} [/mm] - b < 0.
Sind meine Überlegungen soweit richtig?
Wäre dankbar für jede Hilfe!
Viele Grüße
|
|
| |
|
Guten Morgen Commotus!
> Die Funktion [mm]f(x)=x^2+ax+b[/mm] kann im Reellen maximal zwei
> Nullstellen besitzen und zwar
> x= [mm]\bruch{-a}{2}[/mm] + [mm]\wurzel{ \bruch{a^2}{4} - b}[/mm] oder
> x= [mm]\bruch{-a}{2}[/mm] - [mm]\wurzel{ \bruch{a^2}{4} - b},[/mm]
> sofern [mm]\bruch{a^2}{4}[/mm] - b > 0.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
Streng genommen bei [mm] $\bruch{a^2}{4}-b [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ .
Dann ist $x \ = \ [mm] -\bruch{a}{2}$ [/mm] eine doppelte Nullstelle.
> Im Komplexen können maximal vier Nullstellen vorhanden sein,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Eine quadratische Funktion [mm] $x^{\red{2}}$ [/mm] hat auch exakt [mm] $\red{2}$ [/mm] Lösungen in [mm] $\IC$ [/mm] .
> einerseits die beiden Nullstellen, wenn
> [mm]\bruch{a^2}{4}[/mm] - b > 0 und andererseits die beiden
> "imaginären" Lösungen, wenn [mm]\bruch{a^2}{4}[/mm] - b < 0.
Aber diese beiden Fälle schließen sich ja gegenseitig aus, so dass immer nur einer der beiden Fälle eintreten kann.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Also: auch in [mm] $\IC$ [/mm] maximal 2 Lösungen (siehe oben).
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Do 01.12.2005 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für deine Hilfe. Mit der Lösung im Komplexen hast du natürlich Recht!
|
|
|
|
