Nullstellen von Funktionsschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich wäre echt froh, wenn ihr mir noch mal helfen könntet, da ich Donnerstag eine wichtige Klausur schreibe und wieder mal auf dem Schlauch stehe.
Von folgender Funktionenschar sollen Nullstellen und Extrempunkte bestimmt werden:
f(x) = [mm] \bruch{1}{8}\*t X^3-1,5tx^2+4,5tx
[/mm]
Als Nullstellen habe ich erhalten x=0, x=6t
Dabei habe ich zuerst x und dann t ausgeklammert und
den Rest in der Klammer mit p-q-Formel berechnet (bin aber nicht
sicher. ob das bei einer Funktionenschar so funktioniert)
Als Ableitungen habe ich f´(x)= [mm] \bruch{3}{8} *x^2-3tx+4,5t
[/mm]
f´´(x)= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] *tx-3t
und als Extrempunkte: x=6,646t und x=1,354t
(beides Hochpunkte, oder ?)
Dabei habe ich wieder t ausgeklammert und den Rest gleich 0 gesetzt.
Jetzt habe ich versucht durch RÜckeinsetzen zu überprüfen, bzw. die jeweiligen y-Werte zu ermitteln, komme aber mit dem Parameter irgendwie ganz durcheinander.
Ich wäre echt sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Liebe Grüße und schon mal Danke
Titanwurz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Di 28.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo titanwurz!
> f(x) = [mm]\bruch{1}{8}*t*x^3-1,5tx^2+4,5tx[/mm]
>
> Als Nullstellen habe ich erhalten x=0, x=6t
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wenn du $t_$ ausgeklammert hast, sollte als zweite (und dritte) Nullstelle lediglich [mm] $x_{2/3} [/mm] \ = \ 6$ herauskommen.
> Dabei habe ich zuerst x und dann t ausgeklammert und
> den Rest in der Klammer mit p-q-Formel berechnet (bin aber
> nicht sicher. ob das bei einer Funktionenschar so funktioniert)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Klar, funktioniert genauso!
> Als Ableitungen habe ich f´(x)= [mm]\bruch{3}{8} *x^2-3tx+4,5t[/mm]
Bestimmt nur ein Tippfehler, oder: [mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{8}*\red{t}*x^2-3t*x+4.5t$
[/mm]
> f´´(x)= [mm]\bruch{3}{4}[/mm] *tx-3t
> und als Extrempunkte: x=6,646t und x=1,354t
Hier habe ich zwei glatte Werte (ohne Parameter $t_$) erhalten.
> (beides Hochpunkte, oder ?)
Das kann bei einer ganzrationalen Funktion nicht sein!
Gruß
Loddar
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Vielen Dank erst mal für Deine Bemühungen
Habe jetzt die Extremwerte noch mal nachgerechnet und als Ergebnisse: Hochpunkt x=2
Tiefpunkt x=6
Stimmt das ?
Kann ich dann generell davon ausgehen, dass man bei einer Funktionenschar den Parameter ausklammern kann (wenn dieser bei jedem Koeffizienten steht und nur linear vorliegt) und den Rest dann
so berechnen kann wie bei jeder "normalen" Funktion auch ?
Viele Grüße und nochmal herzlichen Dank
Titanwurz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 28.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Titanwurz!
> Ergebnisse: Hochpunkt x=2
> Tiefpunkt x=6
> Stimmt das ?
Die möglichen Extremstellen sind richtig!
Ob es sich jedoch um ein Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt, hängt hier auch vom Vorzeichen des Parameters $t_$ ab.
Beispiel für [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 2$ :
[mm] $f_t''(x_1) [/mm] \ = \ [mm] f_t''(2) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*t*2-3t [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{2}*t$
[/mm]
Für $t \ > \ 0$ gilt: [mm] $f_t''(2) [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $x_1 [/mm] \ = \ 2$ ist (rel.) Maximum!
Jedoch bei $t \ < \ 0$ gilt: [mm] $f_t''(2) [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $x_1 [/mm] \ = \ 2$ ist (rel.) Minimum!
> Kann ich dann generell davon ausgehen, dass man bei einer
> Funktionenschar den Parameter ausklammern kann (wenn dieser
> bei jedem Koeffizienten steht und nur linear vorliegt) und
> den Rest dann so berechnen kann wie bei jeder "normalen" Funktion
> auch ?
Das ist aber eher die Ausnahme, dass bei Kurvenscharen der Parameter ausgeklammert werden kann.
Gruß
Loddar
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