Nullstellen quadr. Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 11.01.2014 | | Autor: | pojo |
| Aufgabe | | Ich möchte eine quadratische Gleichung so umstellen, dass ich zwei Klammern habe. Beispiel: [mm] 5x^2+3x-2=0 [/mm] auf (5x-2)(x+1)=0. |
Ich komme nun soweit, dass ich zumindest halbwegs weiß, wie ich auf die Werte komme. Mir fehlt jedoch eine exakte Vorgehensweise. Die Aufgaben sind immer ähnlich aufgebaut und sollten i.d.R. in kurzer Zeit im Kopf gelöst werden, von daher werden sie nicht viel komplexer, als die Beispielaufgabe.
Ich gehe nun so vor:
Ich schreibe erstmal die beiden Klammern hin: (__ __) (__ __)
Ich setze nun als ersten Wert der ersten Klammer 5x ein und als ersten Wert der zweiten Klammer x. So habe ich das [mm] 5x^2 [/mm] schonmal. Das Produkt der jeweils zweiten Werte in den Klammern muss ja genau der Konstanten entsprechen. Wenn ich davon ausgehe, dass nur ganze Zahlen in Frage kommen, könnte man die Kombinationen zwar durchprobieren, aber das ist ja völliger Blödsinn. Vorallem wenn die Konstante dann doch mal etwas größer wird.
Kann mir jemand sagen, wie ich "mathematisch" auf die entsprechenden Werte komme?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 11.01.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ich möchte eine quadratische Gleichung so umstellen, dass
> ich zwei Klammern habe. Beispiel: [mm]5x^2+3x-2=0[/mm] auf
> (5x-2)(x+1)=0.
> Ich komme nun soweit, dass ich zumindest halbwegs weiß,
> wie ich auf die Werte komme. Mir fehlt jedoch eine exakte
wie kann man das denn halbwegs wissen?
> Vorgehensweise. Die Aufgaben sind immer ähnlich aufgebaut
> und sollten i.d.R. in kurzer Zeit im Kopf gelöst werden,
> von daher werden sie nicht viel komplexer, als die
> Beispielaufgabe.
>
> Ich gehe nun so vor:
>
> Ich schreibe erstmal die beiden Klammern hin: (__ __) (__
> __)
>
> Ich setze nun als ersten Wert der ersten Klammer 5x ein und
> als ersten Wert der zweiten Klammer x. So habe ich das [mm]5x^2[/mm]
> schonmal. Das Produkt der jeweils zweiten Werte in den
> Klammern muss ja genau der Konstanten entsprechen. Wenn ich
> davon ausgehe, dass nur ganze Zahlen in Frage kommen,
> könnte man die Kombinationen zwar durchprobieren, aber das
> ist ja völliger Blödsinn. Vorallem wenn die Konstante
> dann doch mal etwas größer wird.
>
> Kann mir jemand sagen, wie ich "mathematisch" auf die
> entsprechenden Werte komme?
Mathematisch gesehen brauchst Du die Nullstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] der Gleichung, dann kannst Du sie in Linearfaktoren zerlegen:
[mm] $(x-x_1)(x-x_2)=0$ [/mm]
Die Nullstellen findet man meines Erachtens am einfachsten mit der pq-Formel raus.
Wenn es nun darum geht das im Kopf zu berechnen kann man davon ausgehen, dass die Nullstellen ganze Zahlen sind die Koeffizienten nicht zu groß sind. Dann kann der Satz von Vieta helfen die gewünschten Werte zu erraten. Schau Dir den mal an.
>
> Danke!
Bitte!
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 11.01.2014 | | Autor: | pojo |
Hallo,
> wie kann man das denn halbwegs wissen?
das habe ich im Text darunter erklärt - was ich weiß und wo es hakt.
Dass es um die Nullstellen geht und es mit der pq-Formel am einfachsten zu lösen ist, ist auch klar. Die Aufgabe lautet aber nunmal anders.
Also entnehme ich deiner Antwort, dass es ohne die pq-Formel nur bei ganzzahligen Werten für x1,x2 per "Probieren" geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 11.01.2014 | | Autor: | notinX |
> Also entnehme ich deiner Antwort, dass es ohne die
> pq-Formel nur bei ganzzahligen Werten für x1,x2 per
> "Probieren" geht?
Mir ist keine allgemeine Methode bekannt, wie man einer Gleichung die Nullstellen ansehen kann. Aber wie gesagt, bei ganzzahligen Nullstellen und Koeffizienten geht das mit dem Satz von Vieta ganz gut.
Gruß,
notinX
PS: Ich lass mal halboffen, falls jemand noch eine andere Methode kennt.
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Hallo,
für algebraische Gleichungen (um solche handelt es sich hier) gilt ganz allgemein sinngemäß folgender Satz:
Hat eine algebraische Gleichung ausschließlich ganzzahlige Koeffizienten und besitzt sie ganzzahlige Lösungen, so teilen diese Lösungen das Absolutglied.
Unter dem Absolutglied verseht man dabei den konstanten Summanden ohne x, den man sich eigentlich auch als [mm] a_0*x^0=a_0 [/mm] vorstellen kann.
Was bedeutet das nun? Wenn du davon ausgehen kannst, dass einevorgelegte quadratische Gleichung ganzzahlige Lösungen besitzt, dann kannst du immerhin alle Teiler des Absoltuglieds durchprobieren und durch Einsetzen daraufhin prüfen, ob sie eine Lösung darstellen.
Weiters gelten noch:
- Ist die Summe aller Koeffizienten gleich Null, so ist x=1 eine Lösung der algebraischen Gleichung
- Fasst man die Koeffizienten der geradzahligen und der ungeradzahligen Potenzen jeweils durch Addition zusammen, subtrahiert die beiden Summen und erhält Null, so ist x=-1 eine Lösung der algebraischen Gleichung.
Allerdings hätten alle diese Regeln auf dein obiges Beispiel keine Relevanz, denn da kommen rationale Lösungen heraus, jedoch keine ganzen.
Nicht umsonst hat es von der erstmaligen Erwähnung der quadratischen Ergänzung um das Jahr 800 n.Chr. herum bis zum Beweis, dass man Gleichungen ab Ordnung 5 i.a. nicht lösen kann, rund 1000 Jahre gedauert und aus der Beschäftigung mit dieser Problematik ist das vielleicht faszinierendste Teilgebiet der Mathematik entstanden: die Algebra. Damit will ich sagen, dass man sich bei dieser Art von Aufgaben nicht so sehr auf Kochrezepte sondern viel mehr auf die eigene Intuition verlassen sollte.
Gruß, Diophant
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