Nullstellen berechnen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Simge |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] 2x\* [/mm] cos [mm] (x^2-x) [/mm] |
Hallo!
Ich hab eine frage: wie berchnet man hier die Nullstellen?
Also zuerst Nullsetzen
[mm] 2x\*cos (x^2-x)= [/mm] 0
und dann vielleciht durch 2x dividieren dann hätte man
cos [mm] (x^2-x)= [/mm] 0
ja, und jetzt weiß ich gar nix mehr. Wie soll ich da cosinus wegbekommen? Wir haben uns in der Schule nicht sonderlich viel mit diesem Thema auseinander gesetzt. könnte mir das jemand vielleicht auf einfachem Wege erklären?
Eigentlich soll wir ja eine Kurvendiskussion durchführen, wären dann die Ableitungen von dieser Funktion auch richtig?
f´(x)= [mm] 2cos(x^2-x)-sin(x^2-x) \*4x^2-2x
[/mm]
f´´(x)= [mm] -2sin(x^2-x) \* [/mm] (2x-1) + cos( [mm] x^2-x)\*(2x-1)+ [/mm] 8x-2
sieht mir etwas zu merkwürdig aus.
Danke im Voraus!
Liebe Grüße,
simge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Sa 23.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo simge!
> f(x) = [mm]2x\*[/mm] cos [mm](x^2-x)[/mm]
> Hallo!
>
> Ich hab eine frage: wie berchnet man hier die Nullstellen?
>
> Also zuerst Nullsetzen
>
> [mm]2x\*cos (x^2-x)=[/mm] 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und dann vielleciht durch 2x dividieren dann hätte man
>
> cos [mm](x^2-x)=[/mm] 0
Nicht ganz. Du hast ein Produkt aus $2x$ und [mm] $\cos(x^2-x)$. [/mm] Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist (oder auch mehrere). Du musst also die zwei Fälle unterscheiden:
a) $2x=0$ ,
b) [mm] $\cos(x^2-x)$.
[/mm]
Wann ist der Cosinus 0? Wenn du dir die Kurve anschaust, dann siehst du, dass der Cosinus Nullstellen hat bei [mm] $\pm\bruch{\pi}{2}$, $\pm\bruch{3\pi}{2}$, $\pm\bruch{5\pi}{2}$, \dots, [/mm] allgemein bei [mm] $\pm\bruch{(2n+1)\pi}{2}$ [/mm] für [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Damit ist also [mm] $\cos(x^2-x)=0 \gdw x^2-x [/mm] = [mm] \pm\bruch{(2n+1)\pi}{2}$, $n\in\IN_0$.
[/mm]
> Eigentlich soll wir ja eine Kurvendiskussion durchführen,
> wären dann die Ableitungen von dieser Funktion auch
> richtig?
>
> f´(x)= [mm]2cos(x^2-x)-sin(x^2-x) \*4x^2-2x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Fast: du hast die Klammern vergessen: $f'(x) = 2\cos(x^2-x) -\sin(x^2-x)*\red{(}4x^2-2x}\red{)}$.
> f´´(x)=
> [mm]-2sin(x^2-x) \*[/mm] (2x-1) + cos( [mm]x^2-x)\*(2x-1)+[/mm] 8x-2
>
> sieht mir etwas zu merkwürdig aus.
Die zweite Ableitung ist falsch, da hast du anscheinend aus dem [mm] $\*(4x^2-2x)$ [/mm] ein [mm] $\red{+}(4x^2-2x)$ [/mm] gemacht und dann abgeleitet.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Simge |
Hallo Rainer!
Danke erstmal, aber dann sehen die Nullstellen doch so aus oder?
Die erste x=0 von 2x=0
so, und die anderen beiden
[mm] x^2-x= \pm \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] x^2= \pm \bruch{\pi}{2} [/mm] + x dann die Wurzel ziehen
x= [mm] \pm \wurzel{ \bruch{\pi}{2} + x}
[/mm]
ist das so dann richtig?
oder hab ich das jetzt falsch verstanden?
LG
simge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Sierra |
Hallo !
Dass bei x=0 eine Nullstelle vorliegt, hast du richtig erkannt.
Aus dem Zusammenhang [mm] x^{2}-x=\bruch{\pi}{2} [/mm] folgt nun aber:
[mm] x^{2} [/mm] -x- [mm] \bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
Hier kannst du nun die p/q-Formel anwenden:
x= 0.5 [mm] \pm \wurzel{0.5^{2}+\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Da es sich aber um eine Funktion handelt, die mit Cosinus faktorisiert ist, hat deine Funktion unendlich viele Nullstellen, da der Cosinus ja auch für [mm] 1.5\pi, 2.5\pi [/mm] etc Null wird.
Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Simge |
aha! jetzt verstanden! In der zwischenzeit hab ich mal die 2. ableitung noch mal gerechnet. Da kommt aber was ganz langes raus:
f(x)= [mm] -2sin(x^2-x)\*(2x-1) [/mm] - [mm] cos(x^2-x) \* [/mm] (2x-1) [mm] \* (4x^2-1) [/mm] - [mm] sin(x^2-x) \* [/mm] (8x-2)
so da hätte ich auch noch eine Frage. man muss gar nicht die 2. Ableitung machen. ich bin mir nicht sicher, aber kann man doch die die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, dann einen großen Wert und dann einen kleinen Wert in die 1.ableitung einsetzen und dann einen Vorzeichenwechsel machen. Bin ich da richtig oder funktioniert das anders?
Liebe Grüße
simge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 23.02.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo simge,
Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle der 1. Ableitung ist eine hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum der Funktion.
Dieses Kriterium hat sogar den Vorteil gegenüber der Untersuchung der 2. Ableitung, daß es nicht versagt (wie wenn die 2. Ableitung an der kritischen Stelle Null ist)
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Simge |
Hallo!
heißt das jetzt, das ich diese Möglichkeit durchführen kann, ohne dass ich die 2. Ableitung machen muss? einfach nur die nullstellen von f´(x) berechnen.
meine erste nullstelle wäre dann: x= [mm] \pm \wurzel{2x}
[/mm]
und dann komme ich noch auf
[mm] x^2-x-\bruch{\pi}{2}+ \pi [/mm] = 0
[mm] x^2-x+\bruch{\pi}{2} [/mm] = 0
und dann die p-q-formel anwenden und dann einfach nur die Vorzeichen wechseln. ist das so richtig?
liebe Grüße
simge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 24.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> heißt das jetzt, das ich diese Möglichkeit durchführen
> kann, ohne dass ich die 2. Ableitung machen muss? einfach
> nur die nullstellen von f´(x) berechnen.
Ich weiss jetzt nicht, was du eigentlich berechnen willst. Für deine Kurvendiskussion brauchst du doch die Nullstellen von f(x) und von $f'(x)$.
> meine erste nullstelle wäre dann: x= [mm]\pm \wurzel{2x}[/mm]
Das kann nicht sein: da steht das x ja auf beiden Seiten!
>
> und dann komme ich noch auf
>
> [mm]x^2-x-\bruch{\pi}{2}+ \pi[/mm] = 0
>
> [mm]x^2-x+\bruch{\pi}{2}[/mm] = 0
Das ist beide Male dieselbe Gleichung.
Du meinst jetzt die Nullstellen von f(x), nicht wahr?
Dann hast du
[mm]x^2-x-\bruch{\pi}{2} = 0 [/mm] und [mm]x^2-x+\bruch{\pi}{2} = 0[/mm]
und außerdem noch unendlich viele weitere, wenn du ein Vielfaches von [mm] $\pi$ [/mm] draufaddierst.
> und dann die p-q-formel anwenden und dann einfach nur die
> Vorzeichen wechseln. ist das so richtig?
P-q-Formel ist richtig, ich bin mir nicht sicher, was du mit "Vorzeichen wechseln" meinst ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ein allgemeiner Tipp: Mal dir die Funktion und ihre Ableitung auf:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Funktion ist blau gezeichnet, die 1. Ableitung rot.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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