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| Aufgabe | | P(z) = [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] + 1 |
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Neuer Tag - neues Matheproblem !
Wie kann ich die Nullstellen einer komplexen Zahl berechnen?
Leider hab ich absolut überhaupt keine Ahnung wie ich denn anfangen soll.
Habt ihr einen Tipp bzw. Ansatz für mich?
Die Nullstellen einer normalen Funktion weiß ich wie man berechnet (Polynomdivision/Mitternachtsformel) doch geht das bei Komplexen Zahlen auch?
Ich möchte keine ganze Rechnung sondern nur einen Tipp wie ich denn die Nullstellen überhaupt berechnen kann!
Vielen lieben Dank
Tine
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Hallo,
> P(z) = [mm]z^4[/mm] + [mm]z^2[/mm] + 1
> Wie kann ich die Nullstellen einer komplexen Zahl
> berechnen?
> Leider hab ich absolut überhaupt keine Ahnung wie ich denn
> anfangen soll.
Das geht vom Prinzip her genauso wie im Reellen, also über die Gleichung
P(z)=0
> Habt ihr einen Tipp bzw. Ansatz für mich?
>
> Die Nullstellen einer normalen Funktion weiß ich wie man
> berechnet (Polynomdivision/Mitternachtsformel) doch geht
> das bei Komplexen Zahlen auch?
Natürlich. Und noch besser: die Lösungen mit negativen Zahlen unter Quadratwurzeln sind ja jetzt auch Lösungen, da sie aus [mm] \IC [/mm] sind.
> Ich möchte keine ganze Rechnung sondern nur einen Tipp wie
> ich denn die Nullstellen überhaupt berechnen kann!
Beachte zunächst folgenden Sachverhalt: dein Polynom besitzt ausschließlich reelle Koeffizinten. Dann folgt sofort, dass komplexe Lösungen konjugiert auftreten, also paarweise.
Zur eigentlichen Lösung kann man natürlich, wenn man eine sieht, eine geschickte Faktorisierung verwenden. Du kannst aber auch den ganz normalen und bekannten Weg über eine Substitution [mm] w=z^2, [/mm] Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung und anschließende Rücksubstitution gehen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 16.07.2012 | | Autor: | tiiinChen |
aaah ja Stichwort Substitution - das hat mir gefehlt!
viiiielen Dank - nach 4 Tagen ununterbrochen Mathe lernen weiß man die einfachsten Dinge nicht mehr ;)
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also ich hab jetzt w = [mm] z^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow w^2 [/mm] + w +1 = 0
Mitternachtsformel:
[mm] \bruch{-1 \pm \wurzel{1^2-4*1*1}}{2*1} [/mm]
= [mm] \bruch{-1 \pm \wurzel{-3}}{2} [/mm]
= [mm] \bruch{-1 \pm \wurzel{-1}*\wurzel{3}}{2} [/mm]
Die Wurzel von -1 ist ja dann die Komplexe Zahl i
= [mm] \bruch{-1 \pm i*\wurzel{3}}{2} [/mm]
soweit richtig?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mo 16.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> also ich hab jetzt w = [mm]z^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow w^2[/mm] + w +1 = 0
>
> Mitternachtsformel:
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> [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{1^2-4*1*1}}{2*1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{-3}}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{-1}*\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Die Wurzel von -1 ist ja dann die Komplexe Zahl i
>
> = [mm]\bruch{-1 \pm i*\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> soweit richtig?!
Bis hierher ist alles korrekt, bedenke aber, dass diese Werte Lösungen für die Hilfsvariable w sind.
Es gilt also:
[mm]x_{1;2;3;4}=\pm\sqrt{w_{1;2}}=\pm\sqrt{\frac{-1\pm i\cdot\sqrt{3}}{2}}[/mm]
Marius
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> > also ich hab jetzt w = [mm]z^2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow w^2[/mm] + w +1 = 0
> >
> > Mitternachtsformel:
> >
> > [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{1^2-4*1*1}}{2*1}[/mm]
> >
> > = [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{-3}}{2}[/mm]
> >
> > = [mm]\bruch{-1 \pm \wurzel{-1}*\wurzel{3}}{2}[/mm]
> >
> > Die Wurzel von -1 ist ja dann die Komplexe Zahl i
> >
> > = [mm]\bruch{-1 \pm i*\wurzel{3}}{2}[/mm]
> >
> > soweit richtig?!
>
> Bis hierher ist alles korrekt, bedenke aber, dass diese
> Werte Lösungen für die Hilfsvariable w sind.
>
> Es gilt also:
>
> [mm]x_{1;2;3;4}=\pm\sqrt{w_{1;2}}=\pm\sqrt{\frac{-1\pm i\cdot\sqrt{3}}{2}}[/mm]
>
> Marius
>
[mm]\pm\sqrt{\frac{-1\pm i\cdot\sqrt{3}}{2}}[/mm]
ist das dann schon die Nullstelle? ach gott ich steh schon wieder aufm Schlauch!
Bzw. wie kann ich das vereinfachen? Bin bei so Wurzelsachen ganz schlecht :(
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Hallo,
> [mm]\pm\sqrt{\frac{-1\pm i\cdot\sqrt{3}}{2}}[/mm]
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> ist das dann schon die Nullstelle? ach gott ich steh schon
> wieder aufm Schlauch!
Das sind sogar bereits alle vier Nullstellen.
> Bzw. wie kann ich das vereinfachen? Bin bei so
> Wurzelsachen ganz schlecht :(
Nun, so ganz elementar wird es nicht gehen. Wenn du dir mal die Zahlen unter der Wurzel in die Gaßsche Ebene einzeichnest, wirst du sehen, dass sie ein besonders 'günstiges' Argument haben. Damit, und mit der Moivre-Formel, sollte man die Darstellung der Lösung in der Form Re(z)+i*Im(z) hinbekommen, wobei man aber hier nicht ganz ohne Winkelfunktionen auskommt, wenn mich nicht alles täuscht.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Mo 16.07.2012 | | Autor: | tiiinChen |
Ok, vielen lieben Dank für eure Hilfe.
Den Rest sollte ich dann doch hinbekommen jetzt wo ich die Ansätze dazu habe :)
Werd mich dann nach Mittag gleich ran machen die Aufgabe fertig zu lösen!
Liebste Grüße
Tine
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