Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Wie rechne ich denn hier die NS aus.
[mm] y=x^{6}-16x^{5}+105x^{4}-360x^{3}+675x^{2}-648x+243
[/mm]
Ich wollt ja zuerst ausklammern, aber ich habe ja bei "243" kein "x" stehen.
Oder muss ich hier substituieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 11.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
hier bietet sich Polynomdivision an. Denn eine Nullstelle, nämlich x=1, springt sofort ins Auge. 
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
ok, wie soll ich da denn jetzt polynomdivision anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 11.11.2009 | | Autor: | glie |
> ok, wie soll ich da denn jetzt polynomdivision anwenden?
Jede Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] eines Polynoms ergibt in der Faktorisierung des Polynoms einen Linearfaktor der Gestalt [mm] $(x-x_0)$.
[/mm]
Also:
Besitzt ein Polynom vom Grad n die Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] so kann man das Polynom wie folgt faktorisieren:
[mm] $\text{Polynom Grad n}= (x-x_0)*(\text{Restpolynom Grad n-1})$
[/mm]
Auf dein Beispiel angewendet:
Wir wissen [mm] $x_0=1$ [/mm] ist Nullstelle des Polynoms
[mm] $x^{6}-16x^{5}+105x^{4}-360x^{3}+675x^{2}-648x+243 [/mm] $.
Damit folgt:
[mm] $x^{6}-16x^{5}+105x^{4}-360x^{3}+675x^{2}-648x+243=(x-1)*(\text{Restpolynom})$
[/mm]
Also erhältst du das Restpolynom durch folgende Division:
[mm] $(x^{6}-16x^{5}+105x^{4}-360x^{3}+675x^{2}-648x+243):(x-1)$
[/mm]
Das Restpolynom hat dann Grad 5 und dann geht das ganze Spielchen von vorne los
Na ja vielleicht kannst du dir auch Zeit sparen, wenn du Binome und Pascalsches Dreieck beherrschst.
Gruß Glie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Do 12.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach mal die von glie angesprochene Polynomdivision, dann erhältst du ja einen Restterm 5 Grades. Und dann hilft es evtl weiter, wenn du weisst, dass [mm] 3^{\green{5}}=243 [/mm] bzw [mm] (-3)^{\green{5}}=-243
[/mm]
Marius
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Polynomdivision