Nullstelle von kompl. Polynom < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Di 10.02.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
p(z) = [mm] 4z^{4} [/mm] + 4i |
Hi zusammen,
ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei Fragen dazu.
[mm] 4z^{4} [/mm] + 4i = 0
[mm] z^{4} [/mm] + i = 0
[mm] z^{4} [/mm] = -i
Bis hier ist alles klar.
Mit -i = [mm] e^{-\bruch{\pi}{2}i} [/mm] folgt
Wie komme ich von -i zu [mm] e^{-\bruch{\pi}{2}i} [/mm] ? Ich finde einfach die Erklärung dau nicht mehr.
[mm] z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i} [/mm] für k [mm] \in [/mm] {0,1,2,3}
Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde ich nicht mehr.
Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe ich die Nullstellen.
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Di 10.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
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> p(z) = [mm]4z^{4}[/mm] + 4i
> Hi zusammen,
>
> ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei
> Fragen dazu.
>
> [mm]4z^{4}[/mm] + 4i = 0
> [mm]z^{4}[/mm] + i = 0
> [mm]z^{4}[/mm] = -i
>
> Bis hier ist alles klar.
>
> Mit -i = [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] folgt
> Wie komme ich von -i zu [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
? Ich finde
> einfach die Erklärung dau nicht mehr.
Ist z \in \IC \setminus \{0\}, so gilt mit eine eindeutig bestimmten $\phi \in ( - \pi, \pi]$:
$z=|z|*e^{i \phi}$
Ist z=-i , so ist |z|=1 und $\phi= -\bruch{\pi}{2}}$
>
> [mm]z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i}[/mm]
> für k [mm]\in[/mm] {0,1,2,3}
> Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde ich
> nicht mehr.
Ist [mm] $z=|z|*e^{i \phi}$ [/mm] wie oben, so sind die n-ten Wurzeln aus z gegeben durch
[mm] \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n}, [/mm]
k=0,...,n.
FRED
>
> Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe
> ich die Nullstellen.
>
> Danke für die Hilfe im voraus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 10.02.2015 | | Autor: | Bindl |
> > Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
> >
> > p(z) = [mm]4z^{4}[/mm] + 4i
> > Hi zusammen,
> >
> > ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei
> > Fragen dazu.
> >
> > [mm]4z^{4}[/mm] + 4i = 0
> > [mm]z^{4}[/mm] + i = 0
> > [mm]z^{4}[/mm] = -i
> >
> > Bis hier ist alles klar.
> >
> > Mit -i = [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] folgt
> > Wie komme ich von -i zu [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] ? Ich
> finde
> > einfach die Erklärung dau nicht mehr.
>
> Ist z [mm]\in \IC \setminus \{0\},[/mm] so gilt mit eine eindeutig
> bestimmten [mm]\phi \in ( - \pi, \pi][/mm]:
>
> [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm]
>
> Ist z=-i , so ist |z|=1 und [mm]\phi= -\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
Wie komme ich auf [mm] \phi= -\bruch{\pi}{2} [/mm] ?
> >
> > [mm]z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i}[/mm]
> > für k [mm]\in[/mm] {0,1,2,3}
> > Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde ich
> > nicht mehr.
>
> Ist [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm] wie oben, so sind die n-ten Wurzeln
> aus z gegeben durch
>
>
>
> [mm]\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},[/mm]
>
> k=0,...,n.
>
> FRED
> >
> > Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe
> > ich die Nullstellen.
> >
> > Danke für die Hilfe im voraus
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 10.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Bestimmen Sie alle Nullstellen des komplexen Polynomes
> > >
> > > p(z) = [mm]4z^{4}[/mm] + 4i
> > > Hi zusammen,
> > >
> > > ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und zwei
> > > Fragen dazu.
> > >
> > > [mm]4z^{4}[/mm] + 4i = 0
> > > [mm]z^{4}[/mm] + i = 0
> > > [mm]z^{4}[/mm] = -i
> > >
> > > Bis hier ist alles klar.
> > >
> > > Mit -i = [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] folgt
> > > Wie komme ich von -i zu [mm]e^{-\bruch{\pi}{2}i}[/mm] ? Ich
> > finde
> > > einfach die Erklärung dau nicht mehr.
> >
> > Ist z [mm]\in \IC \setminus \{0\},[/mm] so gilt mit eine eindeutig
> > bestimmten [mm]\phi \in ( - \pi, \pi][/mm]:
> >
> > [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm]
> >
> > Ist z=-i , so ist |z|=1 und [mm]\phi= -\bruch{\pi}{2}}[/mm]
> >
>
> Wie komme ich auf [mm]\phi= -\bruch{\pi}{2}[/mm] ?
Zeichne mal -i in die komplexe Ebene ein.
FRED
>
> > >
> > > [mm]z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{1}e^{(-\bruch{\pi}{8} + \bruch{2k\pi}{4})i}[/mm]
> > > für k [mm]\in[/mm] {0,1,2,3}
> > > Auch die Erklärung wie es nun hierzu kommt finde
> ich
> > > nicht mehr.
> >
> > Ist [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm] wie oben, so sind die n-ten Wurzeln
> > aus z gegeben durch
> >
> >
> >
> > [mm]\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},[/mm]
> >
> > k=0,...,n.
> >
> > FRED
> > >
> > > Nun muss ich ja nur noch für k 0-3 einsetzen und dann habe
> > > ich die Nullstellen.
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> > > Danke für die Hilfe im voraus
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Di 10.02.2015 | | Autor: | Bindl |
Logisch, hätte ich drauf kommen müssen.
Danke für die rasche Hilfe
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