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Hallo zusammen
Frage a) Beweisen Sie: Im Intervall $ [0,2] $ besitzt die funktion cos genau eine Nullstelle $ [mm] x_0 [/mm] $.
Meine Lösung: $ cos0= 1, cos2=-0.416147 $ und $ cos : [0,2] [mm] \to [/mm] [-1,1] $
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] $ ist cosx stetig. Da $ cos0*cox2 < 0 $ ist $ [mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] [-1,1] $ sodass $ [mm] f'(x_0)=c [/mm] $.
$ [mm] \bruch{f(2)-f(0)}{2-0} [/mm] = [mm] \f'(x_0) \Rightarrow \bruch{-0.416147-1}{2}=-sinx_0 [/mm] $ Daraus folgt: $ [mm] x_0 [/mm] = 0.786766 $.
Stimmt das genau oder fehlt etwas noch?
Danke für alle Hilfe
Sauerstoff
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Hallo Sauerstoff!
Ich glaube sogar, dass Du zuviel gemacht hast!
Zu zeigen ist also, dass cos im Intervall [0;2] genau eine Nullstelle besitzt.
D.h. Du brauchst nur zeigen, dass diese wirklich existiert und noch nicht mal nachrechnen, welchen Wert diese Nullstelle hat.
Das würde ich mit dem Zwischenwertsatz (Bolzano?) machen.
> Meine Lösung: [mm]cos0= 1, cos2=-0.416147[/mm] und [mm]cos : [0,2] \to [-1,1][/mm]
>
>
> [mm]\forall x \in \IR[/mm] ist cosx stetig.
Das reicht schon aus!
Nach dem Zwischenwertsatz ex. dann ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] \cos(x_0) [/mm] = 0 im Intervall [0;2].
>Da [mm]cos0*cox2 < 0[/mm] ist
> [mm]\exists c \in [-1,1][/mm] sodass [mm]f'(x_0)=c [/mm].
>
>
> [mm]\bruch{f(2)-f(0)}{2-0} = \f'(x_0) \Rightarrow \bruch{-0.416147-1}{2}=-sinx_0[/mm]
> Daraus folgt: [mm]x_0 = 0.786766 [/mm].
Das ist nicht falsch, aber meiner Meinung nach überflüssig!
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Hallo,
reicht das auch, um zu zeigen, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat? Genau das war doch verlangt.
- Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 So 23.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Wenn die Eindeutigkeit dieser einen Nullstelle beweisen wollt genügt zu zeigen, dass der Cosinus im Intervall (0,2) streng monoton fallend ist. Oder anders gesagt, die Ableitungsfunktion ist für alle $x [mm] \in [/mm] (0,2)$ kleiner als 0!
Gruß Micha 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 So 23.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo Wurzelpi
Danke vielmals für deine Hilfe. Könntest du mir die Frage b) genau erklären? Wie würdest du es genau auf dem Blatt zeigen?
Danke im Voraus
Sauerstoff
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