Nullpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 07.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Sei F ein unendlicher Körper und [mm] f \in F[X_{1},\dots,X_{n}] [/mm] ein Polynom in n Variablen. Zeigen Sie: Ist [mm] f(a_{1},\dots,a_{n})=0 [/mm] für alle [mm] a_{1},\dots,a_{n} \in F [/mm], so ist [mm] f [/mm] das Nullpolynom. (Hinweis Iduktion) |
Hallo,
irgendwie verstehe ich diese Aufgabe nicht. Wie wendet man hier Induktion an.
Vielen Dank für eure Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Di 08.05.2012 | | Autor: | hippias |
Induktion nach Anzahl der Unbestimmten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 08.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Induktion nach Anzahl der Unbestimmten.
ja das hab ich mir schon gedacht, ich hab aber gerade eben dabei Probleme. Sag ich einfach wenn [mm] f(a_{1}) = 0[/mm] für alle [mm]a_{1}\in F[/mm], dann folgt f=0.
[mm]n-1 \to n[/mm]
[mm]f(a_{1},a_{2},\dots,a_{n-1},a_{n})=(0,0,\dots,0,f(a_{n})=(0,0,\dots,0,0) \Rightarrow f=0[/mm]
So ja wohl nicht oder? Ich weiß nicht, wie man da formal Induktion macht.
Vielen Dank
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mi 09.05.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> > Induktion nach Anzahl der Unbestimmten.
>
> ja das hab ich mir schon gedacht, ich hab aber gerade eben
> dabei Probleme. Sag ich einfach wenn [mm]f(a_{1}) = 0[/mm] für alle
> [mm]a_{1}\in F[/mm], dann folgt f=0.
> [mm]n-1 \to n[/mm]
Das ist zwar richtig, aber sicher noch erlaeuterungsbeduerftig: Es gibt da einen Satz ueber den Grad eines Polynoms und die Anzahl seiner Nullstellen.
>
> [mm]f(a_{1},a_{2},\dots,a_{n-1},a_{n})=(0,0,\dots,0,f(a_{n})=(0,0,\dots,0,0) \Rightarrow f=0[/mm]
>
> So ja wohl nicht oder? Ich weiß nicht, wie man da formal
> Induktion macht.
Vielleicht so: Sei [mm] $f\in k[X_{1},\ldots, X_{n+1}]$ [/mm] mit [mm] $f(a_{1},\ldots, a_{n+1})= [/mm] 0$ fuer alle [mm] $a_{i}\in [/mm] k$. Es existieren [mm] $\phi_{i}\in k[X_{1},\ldots, X_{n}]$ [/mm] so, dass $f= [mm] \sum_{j} \phi_{j}X_{n+1}^{j}$. [/mm] Seien [mm] $a_{i}\in [/mm] k$ beliebig und setze [mm] $b_{j}:= \phi_{j}(a_{1},\ldots, a_{n})$. [/mm] Betrachte nun das Polynom $g:= [mm] \sum_{j}b_{j}X_{n+1}^{j}\in k[X_{n+1}](=f(a_{1},\ldots, a_{n}, X_{n+1}))$. [/mm] Schliesse, dass die [mm] $b_{j}= [/mm] 0$ sein muessen, woraus mit der Induktionsvoraussetzung folgt, dass die [mm] $\phi_{j}= [/mm] 0$ sind.
>
> Vielen Dank
>
> Grüße
|
|
|
|
