Nullmengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mi 17.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob folgende Aussage wahr (Beweis) oder falsch (Gegenbeispiel) ist:
Ein beschränkter Quader [mm] Q \in \IR^n [/mm] ist genau dann eine Nullfolge, wenn [mm] \lambda_n(Q)=0 [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
zuerst habe ich eine Frage zu offenen Quadern:
Ist ein offener Quader immer eine Nullmenge, weil er kein Raummaß erzeugen kann ?
=> Wenn Q beschränkt und eine Nullmenge ist, dann ist ein Intervall in Q entartet und [mm] \lambda_N(Q)=0 [/mm]
<= Umgekehrt weiss ich jetzt nicht, ob aus [mm] \lambda_N(Q)=0 [/mm] auch "offener Quader" folgen kann
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Do 18.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Prüfen Sie, ob folgende Aussage wahr (Beweis) oder falsch
> (Gegenbeispiel) ist:
> Ein beschränkter Quader [mm]Q \in \IR^n[/mm] ist genau dann eine
> Nullfolge, wenn [mm]\lambda_n(Q)=0[/mm] ist.
Ich nehme an, es soll "Nullmenge" heißen.
Ich bin über die Formulierung ein bischen verwirrt. Ist hier nicht die Voraussetzung für beide Richtungen, dass der Quader beschränkt ist?
Anders formuliert: Sei Q ein beschränkter Quader. Dann sind äquivalent: (a) Q ist Nullmenge, (b) [mm]\lambda_n(Q)=0[/mm].
Andererseits wäre das doch eine triviale Aussage.
> zuerst habe ich eine Frage zu offenen Quadern:
> Ist ein offener Quader immer eine Nullmenge, weil er kein
> Raummaß erzeugen kann ?
Die Frage verstehe ich nicht. Was meinst du damit, dass er kein Raummaß erzeugen kann?
> => Wenn Q beschränkt und eine Nullmenge ist, dann ist ein
> Intervall in Q entartet und [mm]\lambda_N(Q)=0[/mm]
> <= Umgekehrt weiss ich jetzt nicht, ob aus [mm]\lambda_N(Q)=0[/mm]
> auch "offener Quader" folgen kann
Was ist zum Beispiel mit dem Menge [mm] $\IR^{n-1}\times\emptyset$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 18.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen vielen Dank für Deine Hilfe !
> > Ein beschränkter Quader [mm]Q \in \IR^n[/mm] ist genau dann eine
> > Nullfolge, wenn [mm]\lambda_n(Q)=0[/mm] ist.
>
> Ich nehme an, es soll "Nullmenge" heißen.
Ja, Du hast recht.
>
> Ich bin über die Formulierung ein bischen verwirrt. Ist
> hier nicht die Voraussetzung für beide Richtungen, dass der
> Quader beschränkt ist?
>
> Anders formuliert: Sei Q ein beschränkter Quader. Dann sind
> äquivalent: (a) Q ist Nullmenge, (b) [mm]\lambda_n(Q)=0[/mm].
>
> Andererseits wäre das doch eine triviale Aussage.
Ich glaube, ich verstehe das mit den beschränkten Quadern noch nicht so richtig.
a=>b: Q ist Nullmenge, also hat Q ein Intervall=0, also ist das Volumen des Quaders 0
b=>a: Das Volumen des Quaders ist 0, also hat Q ein Intervall=0, also ist Q eine Nullmenge
So einfach ?
> > Ist ein offener Quader immer eine Nullmenge, weil er
> kein
> > Raummaß erzeugen kann ?
>
> Die Frage verstehe ich nicht. Was meinst du damit, dass er
> kein Raummaß erzeugen kann?
Diesen Satz habe ich irgendwo im Internet gelesen und dachte, "kein Raummaß" bedeutet, dass offene Quader immer Nullmengen sind, weil man ihr Volumen nicht berechnen kann. Aber so richtig verstanden habe ich den Satz auch nicht.
> > => Wenn Q beschränkt und eine Nullmenge ist, dann ist ein
> > Intervall in Q entartet und [mm]\lambda_N(Q)=0[/mm]
> > <= Umgekehrt weiss ich jetzt nicht, ob aus
> [mm]\lambda_N(Q)=0[/mm]
> > auch "offener Quader" folgen kann
>
> Was ist zum Beispiel mit dem Menge [mm]\IR^{n-1}\times\emptyset[/mm]
Puh, keine Ahnung - ist das ein offener, entarteter Quader ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Do 18.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Hallo Rainer,
> vielen vielen Dank für Deine Hilfe !
> > > Ein beschränkter Quader [mm]Q \in \IR^n[/mm] ist genau dann
> eine
> > > Nullfolge, wenn [mm]\lambda_n(Q)=0[/mm] ist.
> >
> > Ich nehme an, es soll "Nullmenge" heißen.
> Ja, Du hast recht.
> >
> > Ich bin über die Formulierung ein bischen verwirrt. Ist
> > hier nicht die Voraussetzung für beide Richtungen, dass der
> > Quader beschränkt ist?
> >
> > Anders formuliert: Sei Q ein beschränkter Quader. Dann sind
> > äquivalent: (a) Q ist Nullmenge, (b) [mm]\lambda_n(Q)=0[/mm].
> >
> > Andererseits wäre das doch eine triviale Aussage.
> Ich glaube, ich verstehe das mit den beschränkten Quadern
> noch nicht so richtig.
> a=>b: Q ist Nullmenge, also hat Q ein Intervall=0, also
> ist das Volumen des Quaders 0
> b=>a: Das Volumen des Quaders ist 0, also hat Q ein
> Intervall=0, also ist Q eine Nullmenge
> So einfach ?
Ja, ich glaube schon.
Mein Beispiel der Menge [mm]\IR^{n-1}\times\emptyset[/mm] soll zeigen, dass die Voraussetzung "beschränkt" notwendig ist: denn es ist eine Nullmenge im [mm] $\IR^n$, [/mm] die kein beschränkter Quader ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Do 18.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Hilfe !
> Mein Beispiel der Menge [mm]\IR^{n-1}\times\emptyset[/mm] soll
> zeigen, dass die Voraussetzung "beschränkt" notwendig ist:
> denn es ist eine Nullmenge im [mm]\IR^n[/mm], die kein beschränkter
> Quader ist.
Die leere Menge ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Sa 20.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Hallo Rainer,
> vielen Dank für Deine Hilfe !
>
> > Mein Beispiel der Menge [mm]\IR^{n-1}\times\emptyset[/mm] soll
> > zeigen, dass die Voraussetzung "beschränkt" notwendig ist:
> > denn es ist eine Nullmenge im [mm]\IR^n[/mm], die kein beschränkter
> > Quader ist.
> Die leere Menge ?
Ich glaube, wir reden aneinander vorbei: [mm]\IR^{n-1}\times\emptyset[/mm] ist ein Beispiel für eine unbeschränkte Nullmenge in [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Sa 20.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
> Ich glaube, wir reden aneinander vorbei:
> [mm]\IR^{n-1}\times\emptyset[/mm] ist ein Beispiel für eine
> unbeschränkte Nullmenge in [mm]\IR^n[/mm].
Achso, vielen Dank für Deine Hilfe !!
LG, Susanne.
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