Nullfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Mo 04.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | MAn zeige, dass die angegebenen Folgen (n=0,1,2,3,...) Nullfolgen sind und gebe den INdex [mm] N(\epsilon), [/mm] von dem an [mm] |x_n|< \epsilon [/mm] gilt. (Zahlenbeispiel [mm] \epsilon=0,01)
[/mm]
a) [mm] (\wurzel[n]{0,5} [/mm] -1)
b) [mm] \bruch{n}{n^{2}+1}
[/mm]
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Guten Morgen!
Bei diesen beiden Aufgaben habe ich Schwierigkeiten beim Umformen.
Zu a)
Hier wird der Logarithmus anzuwenden sein, das Problem an der Sache ist
ich weiß nicht genau, wie ich eine Wurzel umschreiben darf (Schande über mein Haupt). [mm] \wurzel[2]{16} [/mm] wäre doch [mm] 16^{\bruch{1}{4}} [/mm] ? hier also dann
[mm] 0,5^{\bruch{1}{2^{n}}}< \epsilon+1
[/mm]
= log zur basis 0,5 von [mm] \epsilon+1 [/mm] ? das ist aber laut lösung nicht richtig
zu b)
Hier fällt mir keine gescheite Umformung ein.
Man könnte den Kehrwert hernehmen - bringt nur keine wirkliche Verbesserung. Brauche heir also eher einen Lösungsansatz.
Vielen Dank.
Bis denn, Flo
(muss nun arbeiten...)
HAbe die Frage nur hier gestellt!
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Hallo Florian,
bei den Wurzeln und Exponenten musst Du noch mal ins Tafelwerk schauen.
[mm] \wurzel[n]{0,5}=\wurzel[n]{\frac{1}{2}}={\frac{1}{2}}^{\frac{1}{n}}=2^{-\frac{1}{n}}
[/mm]
Damit erhält man aus
[mm] \wurzel[n]{0,5}-1<\varepsilon
[/mm]
den Ausdruck
[mm] 2^{-\frac{1}{n}}-1<\varepsilon
[/mm]
umgeformt
[mm] 2^{-\frac{1}{n}}<\varepsilon+1
[/mm]
Jetzt kommen die Logarithmengesetze (Tafelwerk!)
[mm] ln(2^{-\frac{1}{n}})
[mm] -\frac{1}{n} [/mm] ln(2) < ln [mm] (\varepsilon+1)
[/mm]
[mm] -\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{ln (\varepsilon+1)}{ln(2)}
[/mm]
[mm] -n>\frac{ln(2)}{ln (\varepsilon+1)}
[/mm]
[mm] n<-\frac{ln(2)}{ln (\varepsilon+1)}
[/mm]
Zur Aufgabe b)
[mm] \frac{n}{n^{2}+1}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{n^{2}+1}{n}>\frac{1}{\varepsilon}
[/mm]
[mm] n+\frac{1}{n}>\frac{1}{\varepsilon}
[/mm]
Für [mm] \varepsilon=0,01 [/mm] ist [mm] \frac{1}{\varepsilon}=100, [/mm] da gibt es für n nicht viele Möglichkeiten
Viele Grüße, Siegfried.
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