Nullfolge beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mo 12.01.2009 | | Autor: | tonno |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)_{n\varepsilon\IN} [/mm] ein beschränkte Folge pos., reeller Zahlen mit
[mm] 2a_n\le a_{n-1}+a_{n+1} \forall n\varepsilon\IN.
[/mm]
Zeige, dass dann die Folge [mm] (b_n)_{n\varepsilon\IN} [/mm] mit [mm] b_n=a_{n+1}-a_n [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hab wirklich keine Ahnung wie das gehen soll.
Steh da voll auf der Leitung.
Beweis Ansatz und grobe Skizze über den Verlauf des Beweises wären mir lieb. Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tonno,
in den Forenregeln steht mit gutem Grund etwas zum Thema eigene Lösungsansätze. Hilfe ist doch nur sinnvoll möglich, wenn wir wenigstens verstehen, was das Problem ist. Bitte halte Dich daran.
Da dies erst Deine dritte Anfrage ist, gebe ich Dir aber trotzdem einen Tipp zur Weiterarbeit.
Gegeben ist ja u.a. [mm] 2a_n\le a_{n-1}+a_{n+1}
[/mm]
Das lässt sich doch leicht umformen:
[mm] a_n-a_{n-1} \le a_{n+1}-a_n
[/mm]
...und schon zeigt sich, dass hier ein Problem vorliegt.
Stimmt denn die Aufgabenstellung? Oder stand da [mm] \ge [/mm] ?
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:14 Di 13.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo reverend
> Da dies erst Deine dritte Anfrage ist, gebe ich Dir aber
> trotzdem einen Tipp zur Weiterarbeit.
>
> Gegeben ist ja u.a. [mm]2a_n\le a_{n-1}+a_{n+1}[/mm]
>
> Das lässt sich doch leicht umformen:
>
> [mm]a_n-a_{n-1} \le a_{n+1}-a_n[/mm]
>
> ...und schon zeigt sich, dass hier ein Problem vorliegt.
> Stimmt denn die Aufgabenstellung? Oder stand da [mm]\ge[/mm] ?
Ob die Aufgabe nun so lautet oder mit [mm] $\ge$ [/mm] macht keinen Unterschied: ersetzt man die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] durch [mm] $(-a_n)_n$, [/mm] so ersetzt sich [mm] $(b_n)_n$ [/mm] durch [mm] $(-b_n)_n$ [/mm] und [mm] $\le$ [/mm] ersetzt sich durch [mm] $\ge$. [/mm] Aber [mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist genau dann eine Nullfolge, wenn [mm] $(-b_n)_n$ [/mm] eine ist.
Man hat auf jeden Fall sofort, dass die Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konvergiert: sie ist monoton steigend und beschraenkt (da [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschraenkt ist). Wenn der Grenzwert jetzt [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, kann man zeigen, dass die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht beschraenkt ist (denn dann ist [mm] $b_n \ge \varepsilon$ [/mm] -- oder [mm] $b_n \le -\varepslion$ [/mm] -- fuer ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ab einem [mm] $n_0$, [/mm] und man kann damit zeigen, dass [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] bzw. [mm] $a_n \to -\infty$ [/mm] folgt, ein Widerspruch zu [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschreankt).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Di 13.01.2009 | | Autor: | tonno |
Danke @ felix!!! Habs nun verstanden.
@ reverend: Ich versuch so gut es geht eigene beweise zu finden, bloß Ich hab gerade in sehr kurzer Zeit ziemlich viele Aufgaben zu lösen, sodass Ich ziemlich im stress bin und tag und nacht über mathe sitz. Da entstehen schon irgendwann mal ein paar denkblockaden.
Achso, auf deine Umformung bin Ich ja auch gekommen, aber dann gings bei mir nicht mehr weiter. danke.
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