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| Aufgabe | | Es sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge mit [mm] x_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Zeige, dass [mm] (\bruch{1}{x_n}) [/mm] genau dann eine Nullfolge ist, wenn es zu jeden K>0 ein [mm] n_0\in \IN [/mm] gibt mit [mm] x_n>K [/mm] für alle [mm] n\ge n_o. [/mm] |
Muss ich jetzt hier einen Beweis für eine Nullfolge vornehmen oder wie funktioniert das? Ich weiß nicht so recht wie man sowas beweist. Mit Beweisen tue ich mich sowieso recht schwer.. :(
und was ist hierbei K?
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, aber du musst wissen, was es auf [mm] "\varepsilon-Ebene" [/mm] bedeutet, wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Wenn denn [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist, heißt das: Es existiert ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] $|a_n|<\varepsilon$ $\forall n>n_0$.
[/mm]
Nun ist [mm] a_n=\bruch{1}{x_n} [/mm] in deinem Fall.
Also: Es existiert ein [mm] n_0 [/mm] mit [mm] $|\bruch{1}{x_n}|=\bruch{1}{x_n}<\varepsilon$ $\forall n>n_0$.
[/mm]
Daraus sollst du unter anderem schließen, dass dann [mm] x_n>K [/mm] ist, wobei du das K selber bestimmen musst.
Mein Tipp: Stelle [mm] \bruch{1}{x_n} <\varepsilon [/mm] mal nach [mm] x_n [/mm] um und schau, was du für ein K nehmen könntest.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Also: Es existiert ein [mm]n_0[/mm] mit
[mm]|\bruch{1}{x_n}|=\bruch{1}{x_n}<\varepsilon[/mm] [mm]\forall n>n_0[/mm].
[mm] \bruch{1}{x_n}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}< x_n
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x_n}< \bruch{1}{x_0}< \varepsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Do 12.11.2009 | | Autor: | Teufel |
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> Also: Es existiert ein [mm]n_0[/mm] mit
> [mm]|\bruch{1}{x_n}|=\bruch{1}{x_n}<\varepsilon[/mm] [mm]\forall n>n_0[/mm].
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> [mm]\bruch{1}{x_n}<\varepsilon[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}< x_n[/mm]
Bis hierhin!
Nun kannst du [mm] K:=\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] setzen!
Und den Beweis dann schön aufgeschrieben:
[mm] \exists n_0 \in \IN: \bruch{1}{x_n}<\varepsilon \forall n>n_0 \gdw \exists n_0 \in \IN: K:=\bruch{1}{\varepsilon}n_0
[/mm]
Damit hast du gleich beide Richtungen gezeigt, die du zeigen solltest.
[mm] \bruch{1}{x_n} [/mm] Nullfolge [mm] \Rightarrow x_n>K
[/mm]
und
[mm] x_n>K \Rightarrow \bruch{1}{x_n} [/mm] Nullfolge.
Da du ja zwischendurch auch nur Äquivalenzumformungen verwendet hast.
Teufel
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