Nullfolge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Es geht darum zu zeigen, dass bei festem positiven [mm] \rho [/mm] < 1 stets
[mm] $x_n=(1+n)^{\rho}-n^{\rho}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Anschaulich ist die Aussage sofort klar sobald man sich den Graphen von [mm] x^{\rho} [/mm] anschaut. Allerdings suche ich auch keine Lösung durch die Differenzialrechnung, sondern eine möglichst elementare, am besten mit Angabe von [mm] N(\epsilon) [/mm] etc.
Bin für jeden Hinweis dankbar
Gruß Samuel
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Hallo Samuel,
spontan wüßte ich nur l'Hospital:
Mit x := 1/n ist
[mm](1 + n)^{\rho} - n^{\rho} = \frac{(x + 1)^{\rho} - 1}{x^{\rho}}[/mm]
und mit n -> [mm] \infty [/mm] geht x gegen 0, also
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}( \frac{(x + 1)^{\rho} - 1}{x^{\rho}} [/mm] = [mm] \frac{\rho (x + 1)^{\rho-1}}{\rho x^{\rho-1}} [/mm] = [mm] (\frac{x}{x+1})^{1-\rho} [/mm] ) = 0
mit 1 - [mm] \rho [/mm] > 0.
Gruß, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 28.08.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Richard,
An l'Hospital (und Substitution durch Reziprokwert) hab ich garnicht mehr gedacht! Danke für die Antwort!
Gruß Samuel
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