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(Not)Umkehrfunkton: nicht-injektive Funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Mi 18.06.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie zu8r Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2+x} [/mm] den Definitions- sowie Wertebereich sowie eine Not-Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich.

Also für den Definitionsbereich habe ich geschaut wann der Nenner 0 wird:

[mm] x^2+x=x(x+1) [/mm]

dann einmal bei x=0 und x=-1.
[mm] \Rightarrow D_f=\IR \backslash [/mm] 0,-1

Für den Wertebereich sieht man, dass der Nenner bei größer werdendem x immer größer wird und der Bruch somit immer kleiner. Der Nenner ist jedoch immer größer  als 0
[mm] \Rightarrow W_f=\IR>0 [/mm]


Ich weis nicht so recht ob "Not-Umkehrfunktion" ein allgemeiner Begriff ist oder ob den nur mein Prof benutzt, ich häng besser mal ein Bild an:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Wenn ich nun also die Not-Umkehrfunktion herleiten will komm ich nicht weit:

[mm] y=\bruch{1}{x^2+x} [/mm]
[mm] \gdw x^2+x=\bruch{1}{y} [/mm]
und weiter nach x krieg ichs nicht aufgelöst.
Hat da jemand evtl einen Tip?
Besten Gruß,
tedd

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
(Not)Umkehrfunkton: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Mi 18.06.2008
Autor: Loddar

Hallo tedd!



> dann einmal bei x=0 und x=-1.
> [mm]\Rightarrow D_f=\IR \backslash[/mm] 0,-1

[ok]

  
> Für den Wertebereich sieht man, dass der Nenner bei größer
> werdendem x immer größer wird und der Bruch somit immer
> kleiner. Der Nenner ist jedoch immer größer  als 0
>  [mm]\Rightarrow W_f=\IR>0[/mm]

[notok] Warum schließt Du hier negative Werte aus?



> Wenn ich nun also die Not-Umkehrfunktion herleiten will
> komm ich nicht weit:
>  
> [mm]y=\bruch{1}{x^2+x}[/mm]
> [mm]\gdw x^2+x=\bruch{1}{y}[/mm]

Bringe den Term [mm] $\bruch{1}{y}$ [/mm] auf die linke Seite und wende die MBp/q-Formel an.


Gruß
Loddar

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Bezug
(Not)Umkehrfunkton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Mi 18.06.2008
Autor: tedd

Hey danke Loddar - Stimmt!
Habe gar nicht daran gedacht, dass für x-Werte
-1<x<0 der Bruch auch negativ werden kann.
Ich bin mir zwar nicht 100% sicher aber dann müsste der Wertebereich natürlich:
[mm] W_f=\IR \backslash [/mm] 0
sein.

Mit der p/q-Formel bin ich mir nicht sicher ob das so gemeint war:

[mm] x^2+x-\bruch{1}{y}=0 [/mm]
p/q-Formel:
[mm] -\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{y}} [/mm]
[mm] \gdw -\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{y+4}{4*y}} [/mm]
aber weiter komme ich hier jetzt auch nicht mehr... :(
Bezug
                        
Bezug
(Not)Umkehrfunkton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Mi 18.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hey danke Loddar - Stimmt!
>  Habe gar nicht daran gedacht, dass für x-Werte
> -1<x<0 der Bruch auch negativ werden kann.
>  Ich bin mir zwar nicht 100% sicher aber dann müsste der
> Wertebereich natürlich:
>  [mm]W_f=\IR \backslash[/mm] 0
> sein.        [notok]

Um den genauen Wertebereich zu ermitteln, ist eine
kleine Kurvendiskussion nötig !

Der Graph hat im Bereich  -1 < x < 0 einen Hochpunkt !
  
> Mit der p/q-Formel bin ich mir nicht sicher ob das so
> gemeint war:
>  
> [mm]x^2+x-\bruch{1}{y}=0[/mm]
>  p/q-Formel:
>  [mm]-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{y}}[/mm]
>  [mm]\gdw -\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{y+4}{4*y}}[/mm]
>  aber weiter
> komme ich hier jetzt auch nicht mehr... :(



Da das  ±  eine Zweideutigkeit bewirkt, musst du dich
für eine "Not-UKF" für eine Variante entscheiden, z.B.
das  + . Damit schneidest du quasi den Teil des Graphen
mit x-Koordinaten < 0.5  weg. Was übrigbleibt, ist
eine injektive Funktion, deren Umkehrfunktion

          y [mm] \mapsto[/mm] [mm] x\ =\ -\bruch{1}{2}+\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{y}}[/mm]

ist. Mit den Ergebnissen der Kurvenuntersuchung
(Zeichnung !) kannst du deren Definitions- und
Wertebereich exakt angeben.

LG




Bezug
                                
Bezug
(Not)Umkehrfunkton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mi 18.06.2008
Autor: tedd

Okay habe mal nach Extremwerten gesucht und bin zu einem Hochpunkt bei (-0,5/4) gekommen.
also ist der [mm] W_f=\IR \backslash -4
Das man für die Not-UKF einen Teil des Definitionsbereichs wegschneidet, damit man eine injektive Funktion habe ich verstanden aber ist

x\ =\ [mm] -\bruch{1}{2}+\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{y}} [/mm]
jetzt meine Umkehrfunktion mit
[mm] D_f=\IR \ge [/mm] 0,5 ?
Tschuldigung dass ich nochmal nachfrage aber irgendwie war mir die letzte Antwort nicht 100% klar.
Bezug
                                        
Bezug
(Not)Umkehrfunkton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mi 18.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Okay habe mal nach Extremwerten gesucht und bin zu einem
> Hochpunkt bei (-0,5/4[notok]) gekommen.  

                (-0.5/-4)   !!

>  also ist der [mm]W_f=\IR \backslash -4
> so schreiben?

        [mm]W_f=\ \IR\ \backslash \{x | -4

  
> Das man für die Not-UKF einen Teil des Definitionsbereichs
> wegschneidet, damit man eine injektive Funktion habe ich
> verstanden aber ist
>
> [mm]x\ =\ -\bruch{1}{2}+\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{y}}[/mm] [ok]
>  jetzt meine Umkehrfunktion mit

> [mm]D_f=\IR \ge[/mm] 0,5 ? [notok]


f war die ursprüngliche Funktion; nennen wir die zuerst daraus
entstandene ("beschnittene") Funktion [mm] f_r [/mm] und die Umkehr-
funktion davon  [mm] f_r^{-1} [/mm]

Dann ist:

[mm]\ D_f = \IR \backslash \{-1,0\}[/mm]             [mm] W_f [/mm]  wie oben

[mm]\ D_{f_r} = [-0.5;0)\cup(0;\infty)[/mm]        [mm] W_{f_r} [/mm] = [mm] W_f [/mm]

[mm]\ D_{f_r^{-1}} = W_f[/mm]                [mm] W_{f_r^{-1}} [/mm] = [mm] [-0.5;0)\cup(0;\infty) [/mm]


[mm] f_r^{-1} [/mm] :  y [mm] \mapsto[/mm]  [mm]x=\ -\bruch{1}{2}+\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{y}}[/mm]

oder aber, wieder mit x als Variable geschrieben:

[mm] f_r^{-1} [/mm] :  x [mm] \mapsto[/mm]  [mm]y=\ -\bruch{1}{2}+\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{x}}[/mm]


                 [winken]  










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Bezug
(Not)Umkehrfunkton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Mi 18.06.2008
Autor: tedd

Hey Al-Chwarizmi,
danke für deine Hilfe!

Echt immer wieder super hier :)
Vielleicht krieg ich mathe ja doch mal irgendwann auf die Reihe
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