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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Normierung Geradengleichung
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Normierung Geradengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Di 28.08.2012
Autor: lzaman

Aufgabe
Geben Sie den Abstand der Geraden g vom Nullpunkt mit folgender Geradengleichung an:

[mm] y=\dfrac{4}{3}x+2 [/mm]


Hallo, ich verstehe mal wieder etwas nicht so ganz. Um den Abstand zu bestimmen, suche ich die Hesse Normalform:

äquivalent zur obiger Gleichung ist: -4x+3y+6=0

damit habe ich schon mal die Koordinatenschreibweise nach Hesse.

Mein Normalenvektor kann abgelesen werden: [mm]\vec{n}=\vektor{-4 \\ 3}[/mm]

der Normalen-Einheitsvektor ergibt sich dann zu:[mm]\vec{n}_0=\vektor{\frac{-4}{5} \\ \frac{3}{5}}[/mm]

eingesetzt in die Normalform nach Hesse [mm] \vec{x}\cdot\vec{n}_0-p: [/mm]

[mm] -\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y-6=0 [/mm]

Jetzt kommst aber: Ich habe in vielen Beispielaufgaben gesehen, dass p mit normiert wird, also [mm] p=\dfrac{6}{5}. [/mm] Wieso ist das so? Laut der Normalform wird doch nur Vektor und Normalenvektor miteinander multipliziert:

[mm] \vec{x}\cdot\vec{n}-p=0 [/mm]

Was habe ich denn nicht so genau verstanden? Könnt Ihr mir das sagen?

Danke




        
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Normierung Geradengleichung: Habe nun Klarheit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Di 28.08.2012
Autor: lzaman

Hallo, ich habe nun Klarheit aus einem Lehrbuch mit der Definition:

Die Hessesche Normalform der durch

[mm]ax+by=c, \; mit \; c\geq 0,a^2+b^2> 0[/mm]

gegebenen Geraden lautet:

[mm]\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}y=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/mm]

Danke und bis bald


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Normierung Geradengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Di 28.08.2012
Autor: franzzink

Hallo,

es gilt ja:     [mm] -4x+3y+6=0 [/mm]

Division durch 5 ergibt:     [mm] -\bruch{4}{5}x+\bruch{3}{5}y+\bruch{6}{5}=0 [/mm]


Beantwortet das auch deine Frage, wie man auf das Ergebnis kommt?

Schöne Grüße
fz

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Normierung Geradengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Di 28.08.2012
Autor: Richie1401

Hallo,

andere Methode:
Die orthogonale Gerade o(x) zu y(x) durch den Nullpunkt ist die Gerade, wo der Abstand dann am kleinsten ist.
Berechne den Schnittpunkt von [mm] o(x)=-\frac{3}{4}x [/mm] und y(x). Der Satz von Pythagoras hilft dann den Abstand zu berechnen.

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