Normen nicht äquivalent < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Normen [mm] ||f||_{\infty} [/mm] = [mm] sup_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x)| und [mm] ||f||_{1,\infty} [/mm] = [mm] ||f||_{\infty} [/mm] + [mm] ||f^{`}||_{\infty} [/mm] auf [mm] C^{1}([a,b]) [/mm] nicht äquivalent sind. |
Ich habe zu dieser Aufgabe eine Lösung, die ich aber noch nicht ganz nachvollziehen kann:
Betrachte [mm] f_{n} [/mm] : [mm] [0,\pi] \to \IR [/mm] mit [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sin(nx).
Die Funktionenfolge ist stetig differenzierbar. Nun gilt:
[mm] ||f_{n}(x)||_{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
und
[mm] ||f_{n}(x)||_{1,\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + 1
und nun steht da, dass [mm] f_{n} [/mm] bezüglich dieser Norm nicht konvergiert.
Aber warum nicht? Und wieso kann man dann daraus schließen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 27.12.2013 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass die Normen [mm]||f||_{\infty}[/mm] = [mm]sup_{x \in [a,b]}[/mm]
> |f(x)| und [mm]||f||_{1,\infty}[/mm] = [mm]||f||_{\infty}[/mm] +
> [mm]||f^{'}||_{\infty}[/mm] auf [mm]C^{1}([a,b])[/mm] nicht äquivalent
> sind.
> Ich habe zu dieser Aufgabe eine Lösung, die ich aber noch
> nicht ganz nachvollziehen kann:
> Betrachte [mm]f_{n}[/mm] : [mm][0,\pi] \to \IR[/mm] mit [mm]f_{n}(x)[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] sin(nx).
> Die Funktionenfolge ist stetig differenzierbar. Nun gilt:
> [mm]||f_{n}(x)||_{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> und
> [mm]||f_{n}(x)||_{1,\infty}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + 1
> und nun steht da, dass [mm]f_{n}[/mm] bezüglich dieser Norm nicht
> konvergiert.
> Aber warum nicht?
Ueberlege Dir, dass eine bezueglich der zweiten Norm konvergente Folge auch bezueglich der Supremumsnorm konvergent ist und sogar den gleichen Grenzwert haben muss. Mache Dir dies mit der Definition der zweiten Norm klar.
Denn dann genuegt es, dass Du einsiehst, dass [mm] $(f_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] den Grenzwert [mm] $\ldots$ [/mm] hat, aber diesen Grenzwert bezueglich der zweiten Norm nicht haben kann.
> Und wieso kann man dann daraus
> schließen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind?
Tja, wie habt ihr die Aequivalenz zweier Normen definiert?
>
>
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> Ueberlege Dir, dass eine bezueglich der zweiten Norm
> konvergente Folge auch bezueglich der Supremumsnorm
> konvergent ist und sogar den gleichen Grenzwert haben muss.
> Mache Dir dies mit der Definition der zweiten Norm klar.
> Denn dann genuegt es, dass Du einsiehst, dass
> [mm](f_{n})_{n\in \IN}[/mm] den Grenzwert [mm]\ldots[/mm] hat, aber diesen
> Grenzwert bezueglich der zweiten Norm nicht haben kann.
Also Grenzfunktion würde ich f(x)=0 für alle [mm] x\in[0,\pi] [/mm] nehmen.
In der zweiten Norm erhält man ja [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + 1 und für [mm] n\to\infty [/mm] geht dieser Ausdruck gegen 1 und nicht gegen 0.
> > Und wieso kann man dann daraus
> > schließen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind?
> Tja, wie habt ihr die Aequivalenz zweier Normen definiert?
Wir haben nur eine Definition und zwar sind zwei Normen [mm] ||*||_{1} [/mm] und
[mm] ||*||_{2} [/mm] äquivalent wenn Zahlen 0< m [mm] \le [/mm] M existieren, sodass für alle [mm] x\inX [/mm] (X ist ein Vektorraum) gilt: [mm] m||*||_{1} \le ||*||_{2} \le M||*||_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ueberlege Dir, dass eine bezueglich der zweiten Norm
> > konvergente Folge auch bezueglich der Supremumsnorm
> > konvergent ist und sogar den gleichen Grenzwert haben muss.
> > Mache Dir dies mit der Definition der zweiten Norm klar.
> > Denn dann genuegt es, dass Du einsiehst, dass
> > $ [mm] (f_{n})_{n\in \IN} [/mm] $ den Grenzwert $ [mm] \ldots [/mm] $ hat, aber diesen
> > Grenzwert bezueglich der zweiten Norm nicht haben kann.
> Also Grenzfunktion würde ich f(x)=0 für alle $ [mm] x\in[0,\pi] [/mm] $ nehmen.
> In der zweiten Norm erhält man ja $ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ + 1 und für $ [mm] n\to\infty [/mm] $
> geht dieser Ausdruck gegen 1 und nicht gegen 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > Und wieso kann man dann daraus
> > > schließen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind?
> > Tja, wie habt ihr die Aequivalenz zweier Normen
> definiert?
>
> Wir haben nur eine Definition und zwar sind zwei Normen
> [mm]||*||_{1}[/mm] und
> [mm]||*||_{2}[/mm] äquivalent wenn Zahlen 0< m [mm]\le[/mm] M existieren,
> sodass für alle [mm]x\inX[/mm] (X ist ein Vektorraum) gilt:
> [mm]m||*||_{1} \le ||*||_{2} \le M||*||_{1}[/mm]
Naja, und was kann man daraus folgern?
1. Klar ist, dass jede Norm eine Metrik induziert, und bzgl. der durch die
Norm induzierten Metrik sind Grenzwerte eindeutig.
2. Für [mm] $k=1;\,2$ [/mm] sei [mm] $d_k$ [/mm] die durch [mm] $\|\cdot\|_k$ [/mm] induzierte Metrik. Mache Dir klar, dass,
falls [mm] $\|\cdot\|_1$ [/mm] und [mm] $\|\cdot\|_2$ [/mm] äquivalent sind, gilt:
Genau dann gilt
[mm] $d_1(f_n,f) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty,$
[/mm]
wenn
[mm] $d_2(f_n,f) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty.$
[/mm]
Wenn Du bei Deiner Aufgabe nun erkennst
[mm] $f_n \;\;\;\stackrel{\|.\|_1 \text{ bei }n \to \infty}{\longrightarrow}\;\;\; \textbf{0}$ [/mm] (rechterhand ist die Nullfunktion auf [mm] $[0,\pi]$ [/mm] gemeint!)
und die Normen äquivalent sind, so folgte aus obigem Satz (auch unter
Beachtung von 1.) dann auch
[mm] $f_n \;\;\;\stackrel{\|.\|_\red{2} \text{ bei }n \to \infty}{\longrightarrow}\;\;\; \textbf{0}\,.$ [/mm]
(Denn: [mm] $f_n \to \textbf{0} \colon [0,\pi] \ni [/mm] x [mm] \mapsto \textbf{0}(x):=0 \in \IR$ [/mm] bzgl. [mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] hast Du
ja schon erkannt. Also brauchst Du bzgl. [mm] $\|\cdot\|_{1,\infty},$ [/mm] wenn diese Norm
zu [mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] äquivalent wäre, auch nur [mm] $\textbf{0}$ [/mm] als einzigen Grenzwertkandidaten
zu untersuchen. Ein anderer GW käme dann nicht in Frage!)
Übrigens, eine wichtige Erkenntnis, die man sich behalten sollte: Wenn
zwei Normen äquivalent sind, so gilt:
Der metrische Raum, der durch die erste Norm induziert wird, ist genau
dann vollständig, wenn dies auch der metrische Raum ist, der durch die
zweite Norm induziert wird.
Wenn Du willst, kannst Du ja mal versuchen, das zu beweisen (beachte,
dass eine Folge bzgl. der durch die erste Norm induzierten Metrik genau
dann Cauchy ist, wenn sie es auch bzgl. der durch die zweite Norm induz.
Metrik ist - bzw. mache Dir das klar).
P.S. Es gibt übrigens auch, in vollkommener Analogie, den Begriff, dass
zwei Metriken äquivalent sind. Im Endeffekt arbeite ich hier eigentlich eher
direkt mit diesem Begriff. Metrische Räume sind halt etwas allgemeiner -
vielleicht könnte man auch sagen "abstrakter"; und man kann diese
Begriffe in diesem Zshg. absolut genauso behandeln...
Gruß,
Marcel
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Ok, danke :)
> Übrigens, eine wichtige Erkenntnis, die man sich behalten
> sollte: Wenn
> zwei Normen äquivalent sind, so gilt:
> Der metrische Raum, der durch die erste Norm induziert
> wird, ist genau
> dann vollständig, wenn dies auch der metrische Raum ist,
> der durch die
> zweite Norm induziert wird.
>
> Wenn Du willst, kannst Du ja mal versuchen, das zu beweisen
Ja, das habe ich bereits bewiesen :)
> (beachte,
> dass eine Folge bzgl. der durch die erste Norm induzierten
> Metrik genau
> dann Cauchy ist, wenn sie es auch bzgl. der durch die
> zweite Norm induz.
> Metrik ist - bzw. mache Dir das klar).
>
> P.S. Es gibt übrigens auch, in vollkommener Analogie, den
> Begriff, dass
> zwei Metriken äquivalent sind. Im Endeffekt arbeite ich
> hier eigentlich eher
> direkt mit diesem Begriff. Metrische Räume sind halt
> etwas allgemeiner -
> vielleicht könnte man auch sagen "abstrakter"; und man
> kann diese
> Begriffe in diesem Zshg. absolut genauso behandeln...
>
> Gruß,
> Marcel
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