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Normen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 19.05.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt <*,*> und sei ||*|| die zugehörige Norm [mm] ||v||=\sqrt{}. [/mm] Zeigen Sie

[mm] ||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2) [/mm] für alle v,w [mm] \in [/mm] V.

Guten Tag,

habe diese Aufgabe und wollte so beginnen:

[mm] ||v+w||^2+||v-w||^2=\sqrt{}+\sqrt{} [/mm]

Nun meine Frage:

[mm] =(v_1+w^1)^2+(v_2+w^2)^2+(v_3+w^3)^2... [/mm]

Ich muss doch jeden Wert mit sich selbst multiplizieren und dann addieren, richtig? Bringt es mir etwas, dass so zu schreiben?

Danke schonmal!

        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Sa 19.05.2012
Autor: Fulla

Hallo AntonK,

> Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt <*,*>
> und sei ||*|| die zugehörige Norm [mm]||v||=\sqrt{}.[/mm]
> Zeigen Sie
>  
> [mm]||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2)[/mm] für alle v,w [mm]\in[/mm]
> V.
>  Guten Tag,
>  
> habe diese Aufgabe und wollte so beginnen:
>  
> [mm]||v+w||^2+||v-w||^2=\sqrt{}+\sqrt{}[/mm]
>  
> Nun meine Frage:
>  
> [mm]=(v_1+w^1)^2+(v_2+w^2)^2+(v_3+w^3)^2...[/mm]
>  
> Ich muss doch jeden Wert mit sich selbst multiplizieren und
> dann addieren, richtig? Bringt es mir etwas, dass so zu
> schreiben?

da nicht angegeben ist, welches Skalarprodukt hier gemeint ist, geht das so nicht. Du benutzt das Standardskalarprodukt, aber du sollst die Aussage für ein beliebiges Skalarprodukt zeigen.

Benutze also die allgemeinen []Eigenschaften und beginne mit
[mm]\left\| v+w\right\|^2=\langle v+w, v+w\rangle=\langle v,v+w\rangle + \langle w,v+w\rangle[/mm]


Lieben Gruß,
Fulla


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Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Sa 19.05.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Sei [mm] V=\IR^n, n\ge2. [/mm] Wir definieren

[mm] ||v||_\infty:=max_i|v_i| [/mm] für [mm] v=(v_1,...,v_n)\in\IR [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] ||*||\infty [/mm] eine Norm auf V ist, dass es jedoch kein Skalarprodukt [mm] $\langle [/mm] *,* [mm] \rangle$ [/mm] auf V gibt mit [mm] ||v||=\sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] für alle v.

Ah, ok, verstehe, also:

$ [mm] \left\| v+w\right\|^2=\langle [/mm] v+w, [mm] v+w\rangle=\langle v,v+w\rangle [/mm] + [mm] \langle w,v+w\rangle= \langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle+\langle [/mm] w,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle [/mm] $

$ [mm] \left\| v-w\right\|^2=\langle [/mm] v-w, [mm] v-w\rangle=\langle v,v-w\rangle [/mm] - [mm] \langle w,v-w\rangle=\langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle-\langle [/mm] w,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle [/mm] $

Beides zusammen ergibt:

[mm] $\left\| v+w\right\|^2+\left\| v-w\right\|^2=2\langle [/mm] v,v [mm] \rangle+2\langle [/mm] w,w [mm] \rangle=2(\langle [/mm] v,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle)=2(||v||^2+||w||^2)$ [/mm]

Ok, das passt, danke bis dahin!

Habe oben noch den 2. Teil der Aufgabe hinzugefügt, und direkt ein paar Fragen:

[mm] ||v||_\infty [/mm] ist doch eigentlich die Supremungsnorm oder? Was sagt mir das?

Danke schonmal!

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Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 19.05.2012
Autor: SEcki


> [mm]||v||_\infty[/mm] ist doch eigentlich die Supremungsnorm oder?
> Was sagt mir das?

Das, was dar steht - es ist in der Aufageb definiert worden!

SEcki


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Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Sa 19.05.2012
Autor: AntonK

Das heißt doch einfach, dass ich mir den Betragsmäßig größten Vektor aus der Norm picke, richtig?

Ich bin noch ziemlich grün hinter den Ohren in dem Thema, will hier keine Lösung haben, nur mal einen Anhaltspunkt, weil ich mir unter der Aufgabe so nicht vorstellen kann. ||*|| heißt ja nur, dass ich einen Vektorraum auf die reellen Zahlen abbilde, wobei ich x auf die Norm von x abbilde. Wobei die Norm definiert ist als [mm] $\sqrt{\langle v,v \rangle}$, [/mm] also den Abstand.

Aber wie genau zeige ich, dass etwas eine Norm auf V ist? Meine Idee wäre es diese Kriterien zu nutzen, Definitheit und Co.

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Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:07 So 20.05.2012
Autor: meili

Hallo,

> Das heißt doch einfach, dass ich mir den Betragsmäßig
> größten Vektor aus der Norm picke, richtig?

Vielleicht meinst Du das richtige, aber so ist es sehr verquer formuliert.

Der Betrag, der betragsmäßig größte Komponente des Vektors, gibt
den Wert der Norm des Vektors bei der Supremumsnorm.
$ [mm] ||v||_\infty:=max_i|v_i| [/mm] $ für $ [mm] v=(v_1,...,v_n)\in\IR^n [/mm] $

>  
> Ich bin noch ziemlich grün hinter den Ohren in dem Thema,
> will hier keine Lösung haben, nur mal einen Anhaltspunkt,
> weil ich mir unter der Aufgabe so nicht vorstellen kann.
> ||*|| heißt ja nur, dass ich einen Vektorraum auf die
> reellen Zahlen abbilde, wobei ich x auf die Norm von x
> abbilde.

Soweit richtig, mit der Einschränkung: Bei einer Norm wird nach [mm] $\IR_0^+$ [/mm] abgebildet.
Und diese Abbildung muss die Eigenschaften (Axiome)
Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllen.
Siehe []Definition Norm.

> Wobei die Norm definiert ist als [mm]\sqrt{\langle v,v \rangle}[/mm],
> also den Abstand.

Nein.
Es gibt zwar Normen [](induzierte Normen), die diese Eigenschaft erfüllen.
Es gibt aber auch Normen, die nicht von einem Skalarprodukt abgeleitet sind;
und es auch kein Skalarprodukt <.,.> gibt,
das  $ [mm] ||v||=\sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] $ für alle v [mm] $\in$ [/mm] V erfüllt.

Bei dieser Aufgabe sollst Du zeigen, dass die Supremumsnorm solch ein
Beispiel ist.

>  
> Aber wie genau zeige ich, dass etwas eine Norm auf V ist?
> Meine Idee wäre es diese Kriterien zu nutzen, Definitheit
> und Co.

[ok]

Gruß
meili

Bezug
                                                
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Normen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 So 20.05.2012
Autor: AntonK

Verstehe, danke!

Ok, die "Axiome" zu zeigen sollte kein Problem sein, versuch ich gleich mal.

Wie zeige ich aber, dass kein Skalarprodukt existiert, da bräuchte ich noch einen Tipp, bitte.

Danke nochmal.

Bezug
                                                        
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Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 20.05.2012
Autor: SEcki


> Wie zeige ich aber, dass kein Skalarprodukt existiert, da
> bräuchte ich noch einen Tipp, bitte.

1. Teil, also deine erste Frage.

SEcki


Bezug
                                                                
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Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 So 20.05.2012
Autor: AntonK

Ich verstehe nicht, was du meinst... welchen ersten Teil meinst du? Mir ist nicht bewusst, wie man bei sowas beginnt, sicherlich spielt Cauchy-Schwarz eine Rolle oder?

Habe nun zumindest bewiesen, dass es eine Norm auf V ist.

Bezug
                                                                        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 So 20.05.2012
Autor: meili

Hallo,
> Ich verstehe nicht, was du meinst... welchen ersten Teil
> meinst du? Mir ist nicht bewusst, wie man bei sowas
> beginnt, sicherlich spielt Cauchy-Schwarz eine Rolle oder?

Cauchy-Schwarz gilt unter der Vorraussetzung, dass die Norm von einem
Skalarprodukt induziert wird.

>  
> Habe nun zumindest bewiesen, dass es eine Norm auf V ist.

Ok, damit ist der erste Teil der 2. Aufgabe erledigt.

Um zu zeigen, dass es kein Skalarprodukt $ [mm] \langle \cdot{},\cdot{} \rangle [/mm] $ auf V gibt mit $ [mm] ||v||_{\infty}=\sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] $ für alle v [mm] $\in$ [/mm] V,
hilft die []Parallelogrammgleichung bzw. der Satz von Jordan-von Neumann.

Wenn Du den Satz nicht direkt verwenden kannst, weil ihr ihn vielleicht noch nicht hattet,
kannst Du vielleicht aus dem []Beweis das gewünschte zusammen basteln.

Gruß
meili


Bezug
                                                                                
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Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:32 Mo 21.05.2012
Autor: AntonK

Ich denke, ich habe es nun, danke!

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