Normalverteilung mal Faktor < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 25.10.2012 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Wenn X normalverteilt ist,
ist dann auch a*X mit a [mm] \in \IR [/mm] normalverteilt?
Wie sehe die Dichte von a*X aus?
Die Dichte von X ist gegeben durch
[mm] f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}. [/mm] |
Könnte man dann die Dichte von a*X so beschreiben?
[mm] f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{a*x-\mu)^2}{2o²}
[/mm]
oder so:
[mm] f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}*a?
[/mm]
Freue mich auf eure Meinungen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Do 25.10.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Wenn X normalverteilt ist,
> ist dann auch a*X mit a [mm]\in \IR[/mm] normalverteilt?
Ja, sofern [mm] $a\ne0$.
[/mm]
> Wie sehe die Dichte von a*X aus?
> Die Dichte von X ist gegeben durch
> [mm]f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}.[/mm]
> Könnte
> man dann die Dichte von a*X so beschreiben?
> [mm]f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{a*x-\mu)^2}{2o²}[/mm]
> oder
> so:
> [mm]f(x)=\frac{1}{2\pio }*exp(\frac{x-\mu)^2}{2o²}*a?[/mm]
>
> Freue mich auf eure Meinungen ;)
Du musst zwei Faelle unterscheiden: (i) $a>0$ und (ii) $a<0$.
(i) Ich bestimme die Verteilungsfunktion von $aX$:
[mm] $F(z)=P(aX\le z)=P(X\le \frac{z}{a})=\Phi\left(\dfrac{z/a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{z-a\mu}{a\sigma}\right)$.
[/mm]
Das ist die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert [mm] $a\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $a^2\sigma^2$.
[/mm]
Fall (ii) ueberlasse ich dir.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 25.10.2012 | | Autor: | erisve |
Hey, dankeschön für deine schnelle Antwort.
Ah ich weiß, was du meinst, bei der Umformung, würde sich ma negativen Faktoren das Ungleichheitszeichen umdrehen. Dann würde man die entspechende gegenwahrscheinlichkeit aufstellen:
[mm] 1-p(x\le [/mm] z)
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