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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 14.02.2013 | | Autor: | morealis |
| Aufgabe 1 | Eine Abfüllanlage füllt Behälter mit einer Flüssigkeit. Eine Stichprobe der Größe 10 wurde
gezogen und folgende Werte ermittelt (in Litern):
X ={40,1 ; 43,7 ; 46,3 ; 48,6 ; 44,2 ; 49,3 ; 40,9 ; 46,9; 47,2 ; 51,8}
a) Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung dieser Stichprobe und geben
Sie die verwendeten Formeln an. |
| Aufgabe 2 | | b) Nehmen Sie an, die Fü"men~e. ist Normalverteilt und Mittelwert und Standardabweichung der Normalverteilung stimmen mit jener der Stichprobe überein. Berechnen Sie ausgehend von der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass eine überprüfte Einheit mehr als 43 Liter, aber weniger als 48 Liter enthält. |
| Aufgabe 3 | | c) Berechnen Sie jenen Wert, unterhalb dessen die 10% geringsten Füllmengen liegen |
| Aufgabe 4 | | d) Ermitteln Sie jenen Bereich um den Mittelwert zwischen denen 90% der Ergebnisse zu erwarten sind. |
Zu a) habe ich folgende Lösung.
E(x) = 45,9
[mm] \delta [/mm] = 11,085
b)
P (43 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 48) = P(x [mm] \le [/mm] 48) - 1 - P(x [mm] \le [/mm] 42) = 0,5753 - 0,3974 = 0,1779 = 17,79%
Rechnung für beide Gleichungen:
z = x - [mm] \mu/ \delta [/mm]
c)
Wert aus der Tabelle für z(0,90) = 1,28
z = x - [mm] \mu/ \delta [/mm]
1,28 = x1 - 45,9/11,085
x1 = 60,0888
-1,28 = x2 - 45,9/11,085
x2 = 31,7112
xneu = x1 -x2 = 28,3776
d)
Könnte mir jemand hier einen kleinen Tipp geben? Muss ich einfach errechnen wie groß der Abstand zwischen x - [mm] \mu/ [/mm] ist bei beiden Funktionen?
LG,
morealis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 14.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo morealis,
bei dieser Aufgabe d) sollst Du einfach ausrechnen, wo die Grenzen liegen, um, symmetrisch um den Mittelwert herum, 90% aller Ergebnisse einzufangen. Dabei ist es geschickt, diesen Bereich als ein Vielfaches, nicht unbedingt ganzzahlig, der Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] zu beschreiben, denn dann hilft bei der Bestimmung eines Faktors k der folgende Zusammenhang:
[mm] P(|X- \mu| \leq k \sigma) = 2 \Phi(k) - 1 = 0,9 [/mm]
Jetzt musst Du nur noch k bestimmen und hast dann damit diesen Bereich in Einheiten der Standardabweichung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 14.02.2013 | | Autor: | morealis |
| Aufgabe | Hallo morealis,
bei dieser Aufgabe d) sollst Du einfach ausrechnen, wo die Grenzen liegen, um, symmetrisch um den Mittelwert herum, 90% aller Ergebnisse einzufangen. Dabei ist es geschickt, diesen Bereich als ein Vielfaches, nicht unbedingt ganzzahlig, der Standardabweichung $ [mm] \sigma [/mm] $ zu beschreiben, denn dann hilft bei der Bestimmung eines Faktors k der folgende Zusammenhang:
$ P(|X- [mm] \mu| \leq [/mm] k [mm] \sigma) [/mm] = 2 [mm] \Phi(k) [/mm] - 1 = 0,9 $
Jetzt musst Du nur noch k bestimmen und hast dann damit diesen Bereich in Einheiten der Standardabweichung.
Viele Grüße,
Infinit |
Danke Infinit!
$ P(|X- [mm] \mu| \leq [/mm] k [mm] \sigma) [/mm] = 2 [mm] \Phi(k) [/mm] - 1 = 0,9 $
2 * 1,28(k) -1 = 0,9
2,56 (k) = 1,9
k= 0,7421 = 74,21 %
Ist mein Lösungsweg korrekt?
Würde auch gerne wissen ob meine Lösung zu a - c richtig sind.
Vielen Dank
LG,
morealis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 14.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo morealis,
Deine beiden ersten Ergebnisse sind okay. Was Du bei der c) gerechnest hast, verstehe ich nicht ganz. Du hast den Wert ausgerechnet, in dem 90% aller Werte liegen. Das ist, wie Du richtig ausgerechnet hast, bei 60,08 l der Fall. Wegen der symmetrischen Verteilung um den Mittelwert herum, liegt die entsprechende untere Grenze für eine 10%-ige Auftretenswahrscheinlichkeit bei dem Wert, den Du mit x2 ausgerechnet hast. Warum Du dann noch mal eine Differenz bildest, verstehe ich nicht und Du hoffentlich auch nicht 
Die Rechnung unter d) ist dann nicht mehr nachzuvollziehen.
Eine einfache Umformung führt doch auf
[mm] \Phi(k) = 0,95 [/mm]
und da bekomme ich nach meiner Tabelle einen k-Wert von 1,645 raus (etwas interpoliert). In einem Bereich zwischen [mm] \mu- k \sigma [/mm] und [mm] \mu + k \sigma [/mm] liegen demzufolge 90% aller Werte. Das dies stimmt, kannst Du sogar ganz einfach bei Wikipedia unter Normalverteilung nachlesen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 14.02.2013 | | Autor: | morealis |
| Aufgabe | | c) Berechnen Sie jenen Wert, unterhalb dessen die 10% geringsten Füllmengen liegen |
Dann
Wert aus der Tabelle für z(0,90) = 1,28
-1,28 = x2 - 45,9/11,085
x2 = 31,7112
Das müsste die Lösung sein!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 14.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Genau, das ist die Lösung. Wenn man sich einmal die Symmetrie der Verteilung verinnerlicht hat, kann man solche Aufgaben recht schnell lösen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 14.02.2013 | | Autor: | morealis |
| Aufgabe | | d) Ermitteln Sie jenen Bereich um den Mittelwert zwischen denen 90% der Ergebnisse zu erwarten sind. |
Es ist hier doch jene Abweichung zu vom Mittelwert [mm] \mu [/mm] zu berechnen, innerhalb 90& der Ergebnisse zu erwarten sind, oder?
Also:
z = x - $ [mm] \mu/ \delta [/mm] $
1,28 = x1 - 45,9/11,085
x = 60,08
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Do 14.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo morealis,
dann erkläre mir doch bitte mal, wie Du auf diese 1,28 kommst. Nach der Rechnung, die ich Dir vorgeschlagen habe, kommt man da ja nicht drauf, wie ich Dir weiter oben geschrieben habe.
Ich glaube zwar zu wissen, was Du gemacht hast, dies hat aber nichts mit der Aufgabe zu tun. Du hast den z-Wert für 0,9 nachgeschaut, der beträgt 1,28. Damit hast Du aber den Bereich erfasst, der auf der x-Achse zwischen - Unendlich und eben gerade dem normierten Wert 1,28 liegt. Dieser Bereich ist aber nicht symmetrisch zum Mittelwert, und darum ging es ja in der Aufgabenstellung. Das hatte ich in meinem Ansatz berücksichtigt.
Schraffiere Dir einfach mal die Bereiche unter der Dichtekurve, dann siehst Du ja recht schnell, dass die dazugehörigen x-Werte andere sind.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 14.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo morealis,
Du kannst bei dieser Aufgabe noch einen anderen Weg gehen, der Dir vieleicht eher einleuchtet.
Nutze wie in der Aufgabe c) die Symmetrie aus und betrachte den folgenden Fall. Wenn 90% der Werte symmetrisch um den Mittelwert herum liegen sollen, so bedeutet dies doch, dass 45% oberhalb und 45% unterhalb des Mittelwertes liegen. Mit anderen Worten: 10% liegen außerhalb dieses Bereiches und diese 10% sind auch wieder symmetrisch aufgeteilt.
Die Frage ist also, wie groß ist X zu wählen, wenn dies die obere Grenze ist und demzufolge dann 95% der Daten zwischen -Unendlich und diesem noch unbekannten Wert liegen. Nun, dann muss doch gelten:
[mm] \Phi(\bruch{X-\mu}{\sigma}) = 0.95 [/mm]
Berechne das X und nutze dann für die untere Grenze wieder die Symmetrie der Verteilung aus.
Alles klar?
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Do 14.02.2013 | | Autor: | morealis |
Danke für die sehr verständliche Erlklärung *happy*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 14.02.2013 | | Autor: | morealis |
Also wie du gesagt hast:
$ [mm] \Phi(\bruch{X-\mu}{\sigma}) [/mm] = 0.95 $
x1 = 1,75 * 11,085 + 45,9 = 65,29875
x2 = -1,75 * 11,085 + 45,9 = 26,50125
[mm] \pm [/mm] x= 19,39875
LG,
morealis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo morealis,
ja, das ist der Weg. Gar nicht so schwer, wenn man sich vorstellen kann, was man dabei macht.
Viele Grüße,
Infinit
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