Normalteiler O_{n}(\IR) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 21.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Sei [mm] O_{n}(\IR) [/mm] := { A [mm] \in GL_{n}(\IR) [/mm] | [mm] AA^{t} [/mm] = E} [mm] \subset GL_{n}(\IR) [/mm] die Gruppe der orthogonalen n [mm] \times [/mm] n Matrizen. Z.z: [mm] O_{n}(\IR) [/mm] ist kein Normalteiler in [mm] GL_{n}(\IR) [/mm] |
Hallo Forum,
ich hab bei der obigen Aufgabe ein paar Schwierigkeiten, wie man zeigen kann, dass [mm] O_{n}(\IR) [/mm] kein Normalteiler ist.
Ich hab versucht, einen Widerspruchsbeweis durchzuführen, komm aber dann nicht mehr weiter:
[mm] O_{n}(\IR) [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] GL_{n}(\IR).
[/mm]
Annahme: [mm] O_{n}(\IR) [/mm] ist Normalteiler von [mm] GL_{n}(\IR). [/mm] Dann gilt [mm] \forall [/mm] A [mm] \in O_{n}(\IR) \forall [/mm] B [mm] \in GL_{n}(\IR): BAB^{-1} \in O_{n}(\IR).
[/mm]
D.h doch, dass ich zeigen muss, dass [mm] (BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1}) \not= [/mm] E ist oder?
Weil dann hätte ich einen Widerspruch zur Annahme, und dann würde die Behauptung daraus folgen.
Ich weiß aber leider nicht, wie ich die Matrizen zusammenfassen soll.
Wenn man das umformt, hat man:
[mm] (B^{-1})^{t} A^{t} B^{t} [/mm] B A [mm] B^{-1} [/mm]
Ich hab auch schonn versucht, ein paar Mal [mm] A^{t}A [/mm] oder [mm] B^{-1}B [/mm] (gilt ja beides nach Voraussetzung) in die Kette einzubauen, in der Hoffnung, dass sich dann eine "schönere" Form ergibt, aber ich komm nicht weiter.
Ich hoffe daher, es kann mir jemand weiter helfen. Das wäre sehr nett.
Vielleicht bin ich ja auch auf einen ganz falschen Trip, das kann auch sein...
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 22.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
> Ich hab versucht, einen Widerspruchsbeweis durchzuführen,
> komm aber dann nicht mehr weiter:
>
> [mm]O_{n}(\IR)[/mm] ist eine Untergruppe von [mm]GL_{n}(\IR).[/mm]
> Annahme: [mm]O_{n}(\IR)[/mm] ist Normalteiler von [mm]GL_{n}(\IR).[/mm] Dann
> gilt [mm]\forall[/mm] A [mm]\in O_{n}(\IR) \forall[/mm] B [mm]\in GL_{n}(\IR): BAB^{-1} \in O_{n}(\IR).[/mm]
>
> D.h doch, dass ich zeigen muss, dass [mm](BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1}) \not=[/mm]
> E ist oder?
> Weil dann hätte ich einen Widerspruch zur Annahme, und dann
> würde die Behauptung daraus folgen.
>
> Wenn man das umformt, hat man:
> [mm](B^{-1})^{t} A^{t} B^{t}[/mm] B A [mm]B^{-1}[/mm]
>
Wenn du für A eine orthogonale und für B eine invertierbare Matrix einsetzt und nicht die Einheitsmatrix rauskommt, dann hast du doch deinen Widerspruchsbeweis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Do 23.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um die Behauptung "Normalteiler" zu widerlegen.
Wenn du eine 3x3-Matrix hast, die die Behauptung widerlegt, dann kannst du die doch bestimmt für allgemeines n verwenden (->Blockmatrizen).
Im Sinne von [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & E }
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 23.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
hallo otto.euler,
vielen Dank für deine Antwort. Ich komm leider bei der Aufgabe nicht weiter, weil ich keine Matrizen finde, wo [mm] (BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1}) \not= [/mm] E ist.
Ich habe mal 2 [mm] \times [/mm] 2 matrizen betrachtet:
A = [mm] \pmat{ cos \phi & sin \phi \\ -sin \phi & cos \phi }, [/mm] so sehen ja othogonale Matrizen aus bei 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen.
Für B habe ich mal [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] gewählt, das ist ja eine invertierbre Matrix. Aber wenn ich dann [mm] (BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1}) [/mm] berechne, kommt als Ergebnis immer E heraus, die Einheitsmatrix, was ja nicht sein soll.
Ich weiß nicht, was ich falsch mache. Hab auch schon für alle möglichen invertierbaren Matrizen das versucht, aber da kommt immer E heraus.
ich hoffe, du kannst mir da weiter helfen.
Dann hab ich noch eine Frage zu deiner letzten Mitteilung:
> Wenn du eine 3x3-Matrix hast, die die Behauptung widerlegt,
> dann kannst du die doch bestimmt für allgemeines n
> verwenden (->Blockmatrizen).
>
> Im Sinne von [mm]\pmat{ A & 0 \\ 0 & E }[/mm]
Das E in der Matrix ist die Einheitsmatrix oder? D.h. dass man einfach zu den gefundenen Matrizen A und B die Einheitsmatrix "hinzubaut", um die gesamte Matrix auf eine n [mm] \times [/mm] n Matrix "aufzublähen", oder?
Ich hoffe, ich hab das richtig verstanden.
Aber wie gesagt, ich find einfach die Matrizen nicht, wo [mm] \not= [/mm] E rauskommt.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Fr 24.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> vielen Dank für deine Antwort. Ich komm leider bei der
> Aufgabe nicht weiter, weil ich keine Matrizen finde, wo
> [mm](BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1}) \not=[/mm] E ist.
Ich hätte mal 'nen anderen, geometrischen Tip: Ein Element der orthogonalen Gruppe läßt die Länge eines vektors fest. Jetzt musst du doch blos für ein B und ein A finden, dass einen Vektor durch [m]BAB^{-1}[/m] auf einen mit anderer Länge schickt. Und das ist imo ganz einfach - zerlege dazu zB die Ebene in 2 Geraden, konstruiere B auf diesen, rotiere die eine in die andere.
> Für B habe ich mal [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] gewählt, das
> ist ja eine invertierbre Matrix.
Lol! B ist selbst orthogonal ... versiche mal nicht orthogonales B zu nehmen.
> Aber wenn ich dann
> [mm](BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1})[/mm] berechne, kommt als Ergebnis
> immer E heraus, die Einheitsmatrix, was ja nicht sein
> soll.
Kein Wunder
> Das E in der Matrix ist die Einheitsmatrix oder? D.h. dass
> man einfach zu den gefundenen Matrizen A und B die
> Einheitsmatrix "hinzubaut", um die gesamte Matrix auf eine
> n [mm]\times[/mm] n Matrix "aufzublähen", oder?
Ja, os ist das.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 24.11.2006 | | Autor: | otto.euler |
Wenn ich mich auf die Schnelle nicht vertan habe, müßte
B = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2 }
[/mm]
bereits den gewünschten Widerspruch liefern.
Wenn ich zusätzlich [mm] \phi [/mm] so wähle, dass [mm] -cos\phi [/mm] = [mm] 2sin\phi, [/mm] erhalte ich in der auszurechnenden Matrix links oben 0 [mm] \not= [/mm] 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für die Hilfe  Ich denke, dass ich nun die Lösung habe:
Ich hab für A mal [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \in O_{2}(\IR) [/mm] gewählt. Und für B die von dir angegebene Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2 }.
[/mm]
Das Inverse [mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -0,5 \\ 0 & 0,5 }
[/mm]
Dann hab ich [mm] (BAB^{-1})^{t} (BAB^{-1}) [/mm] berechnet und da kommt bei mir [mm] \pmat{ 5 & -2 \\ -2 & 1 } [/mm] heraus, was [mm] \not= [/mm] E ist.
Um n [mm] \times [/mm] n Matrizen zu bekommen, müssen die Matrizen doch so aussehen:
A' = [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & E } \in O_{n}(\IR), [/mm] wobei E eine (n-2) [mm] \times [/mm] (n-2) Matrix ist oder?
Und B' = [mm] \pmat{ B & 0 \\ 0 & E } \in GL_{n}(\IR) [/mm]
Also ist [mm] O_{n}(\IR) [/mm] kein Normalteiler.
Stimmt das so?
Viele Grüße,
Moe
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Man koennte ja viel einfacher mit der Determinante argumentieren.
Denn [mm] det(A^{-1}BA) [/mm] ist sicherlich gleich det(B) und nicht immer gleich 1 oder -1, wie es bei orthogonalen Matrizen der Fall ist. =>Orthogonale Gruppe kein Nullteiler von GL(n, [mm] \IR)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Maechschen,
stimmt, deine Lösung ist viel einfacher. Aber meine Lösung ist auch nicht falsch oder?
Aber trotzdem danke!
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Maechschen |
Oh, sorry, meins war leider falsch;(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
wieso ist deins falsch? habs nicht verstanden wieso
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:22 Fr 24.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Denn [mm]det(A^{-1}BA)[/mm] ist sicherlich gleich det(B) und nicht
> immer gleich 1 oder -1, wie es bei orthogonalen Matrizen
> der Fall ist. =>Orthogonale Gruppe kein Nullteiler von
> GL(n, [mm]\IR)[/mm]
Da B ortogonal ist, ist die Determinante ja [m]\pm 1[/m].
SEcki
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