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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Do 20.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | | Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung 56, so besitzt G einen echten Normalteiler. |
|G| = 56= 7 * [mm] 2^3
[/mm]
[mm] s_2 \in [/mm] {1, 7} und [mm] s_7 \in [/mm] {1,8}
für [mm] s_7 [/mm] ist man fertig.
sei [mm] s_7 \not= [/mm] 1 also [mm] s_7 [/mm] =8 Nach Lagrange haben zwei verschiedene 7 -Sylows den Durchschnitt {e}.
Warum ist das so? Das steht so in meinem Buch, aber ich versteh es nicht Lagrange sagt doch aus, dass
|G| = |G/U| |U|
Dann beht der Beweis weiter:
Damit verbrauchen die acht 7-Sylows 8*6 +1 Elemente von G.
Mit jeder 2- Sylow haben sie den Durchschnitt {e}
Warum?
Damit bleiben noch genau 7 Elemente für eine 2-Sylow ???
, die ja die Ordnung 8 hat.
Da folglich [mm] s_2 [/mm] =1 ist die einzige 2-Sylow ein Normalteiler von G.
Könnte man auch den Beweis andersherum angehen, indem man [mm] s_2 \not= [/mm] 1 ansetzt und dann folgert, dass [mm] s_7 [/mm] = 1 sein muss?
Wie kommt man auf die Elemente, die noch übrig sind?
Danke für die Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Fr 21.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung 56, so besitzt G
> einen echten Normalteiler.
> |G| = 56= 7 * [mm]2^3[/mm]
> [mm]s_2 \in[/mm] {1, 7} und [mm]s_7 \in[/mm] {1,8}
> für [mm]s_7[/mm] = 1 ist man fertig.
> sei [mm]s_7 \not=[/mm] 1 also [mm]s_7[/mm] =8 Nach Lagrange haben zwei
> verschiedene 7 -Sylows den Durchschnitt {e}.
> Warum ist das so? Das steht so in meinem Buch, aber ich
> versteh es nicht Lagrange sagt doch aus, dass
> |G| = |G/U| |U|
Das bedeutet doch, daß die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung teilt, und der Durchschnitt von 2 U-Gruppen ist wieder eine. Aber 7 hat nur die Teiler 1 und 7, bei Ordnung 7 wären die beiden Sylows gleich, bleibt also nur 1, d. h. {e}.
> Dann geht der Beweis weiter:
> Damit verbrauchen die acht 7-Sylows 8*6 +1 Elemente von
> G.
> Mit jeder 2- Sylow haben sie den Durchschnitt {e}
> Warum?
Weil die Ordnung des Durchschnitts Teiler von 8 und Teiler von 7 sein muß, wie oben.
> Damit bleiben noch genau 7 Elemente für eine 2-Sylow ???
> , die ja die Ordnung 8 hat.
> Da folglich [mm]s_2[/mm] =1 ist die einzige 2-Sylow ein
> Normalteiler von G.
>
> Könnte man auch den Beweis andersherum angehen, indem man
> [mm]s_2 \not=[/mm] 1 ansetzt und dann folgert, dass [mm]s_7[/mm] = 1 sein
> muss?
Ja, wenn es mind. 2 2-Sylows gibt, liegen im Durchschnitt höchstens 4 Elemente, d. h. 12 Elemente sind verbraucht. Dann passen in den Rest keine 8 7-Sylows mehr rein, weil ich dafür noch 48 'freie' Elemente brauche.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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