Normalenform zu Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Fanca |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Paramterform |
Hallo!
Gegeben ist folgende Gleichung:
[mm] E:\{\vec{x}- \vektor{-1 \\ -2 \\ -3}\}*\vektor{3 \\ 5 \\ 0}=0
[/mm]
Die hab ich dann erstmal in die Normalenform umgewandelt:
[mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 0} \vec{x}-13=0
[/mm]
Dann Koordinatenform gebildet:
[mm] -3x_{1}-5x_{2}-13=0
[/mm]
Dann nach nach [mm] x_{2} [/mm] aufgelöst:
[mm] x_{2}= 3x_{1}+ 5x_{2} [/mm] + 13
--> [mm] x_{1}= x_{1} [/mm] + 0 + 0
[mm] x_{2}= 3x_{1}+ 5x_{2} [/mm] + 13
so bin ich auf die folgende Parameterform gekommen:
E: [mm] \vec{x} \vektor{0 \\ 13} [/mm] + [mm] r\vektor{1 \\ 3} [/mm] + [mm] s\vektor{0 \\ 5}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Danke für eure Hilfe,
Fanca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fanca!
> Die hab ich dann erstmal in die Normalenform umgewandelt:
> [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 0} \vec{x}-13=0[/mm]
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Das muss $E \ : \ [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 0}*\vec{x} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ 13 \ = \ 0$ heißen.
> E: [mm]\vec{x} \vektor{0 \\ 13}[/mm] + [mm]r\vektor{1 \\ 3}[/mm] + [mm]s\vektor{0 \\ 5}[/mm]
Abgesehen von dem Folgefehler: wo ist denn hier jeweils die 3. Koordinate abgeblieben?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Fanca |
Mhm.. ja, das hat ich mich auch gewundert *g* aber [mm] x_{3} [/mm] fällt ja weg.. ich weiß auch nicht.
Wie würdest du es denn machen?
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> Mhm.. ja, das hat ich mich auch gewundert *g* aber [mm]x_{3}[/mm]
> fällt ja weg.. ich weiß auch nicht.
> Wie würdest du es denn machen?
Hallo,
daß hier etwas nicht stimmen kann, merkst Du ja daran, daß $ [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 0} \vec{x}+13=0 [/mm] $ offensichtlich eine Gerade im Dreidimensionalen beschreibt. Jeder Punkt, der auf der Geraden liegt, hat ja drei Koordinaten.
Daher KANN $ [mm] \vec{x} \vektor{0 \\ 13} [/mm] $ + $ [mm] r\vektor{1 \\ 3} [/mm] $ + $ [mm] s\vektor{0 \\ 5} [/mm] $ nicht dieselbe Gerade beschreiben. Die Punkte auf dieser Geraden haben ja nur zwei Koordinaten. Es sind also nicht dieselben.
[mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 0} \vec{x}+13=0 [/mm] in Koordinatenform lautet
[mm] 3x_1+5x_2+13=0
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] kommt darin nicht mehr vor. Die Wahl der dritten Koordinate hat also keinen Einfluß aus die Lösbarkeit des Gleichungssystems.
Daher kannst Du [mm] x_3 [/mm] ganz beliebig wählen.
Also ist
[mm] x_3=r [/mm] mit [mm] r\in \IR.
[/mm]
Deine Gleichung hat zwei Unbekannte. Du siehst, daß Du eine völlig beliebig wählen kannst, die zweite muß dann dazu passen.
Für
[mm] x_2=s [/mm] mit [mm] s\in \IR [/mm] muß also
[mm] x_1=... [/mm] sein.
Daraus erhältst Du
[mm] \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{... \\ s \\ r}=\vektor{... \\ ... \\...}+s\vektor{... \\ ... \\...}+r\vektor{... \\ ... \\...}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Fanca |
Hallo Angela,
danke erstmal für deine Antwort! Sie hat mir mehr weitergeholfen.
Trotzdem steh ich leider noch auf dem Schlauch.
Du hast mir folgendes geschrieben:
> Daraus erhältst Du
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{... \\ s \\ r}=\vektor{... \\ ... \\...}+s\vektor{... \\ ... \\...}+r\vektor{... \\ ... \\...}[/mm]
ich hab da jetzt vor gesessen und bin leider nicht so weiter gekommen. Ich steh da oft auf dem Schlauch^^ bitte gib mir doch nochmal kurz Hilfe, wie ich bis hier hin komme:
> [mm] \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{... \\ s \\ r}=\vektor{... \\ ... \\...}
[/mm]
Danke!
Gruß Simone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen Simone,
Die Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet
(ich verwende der Einfachheit halber $x = [mm] x_1, y=x_2, z=x_3.$)
[/mm]
3x + 5y = -13
Löse nach x auf:
$x = [mm] -\frac{13}{3} [/mm] - [mm] \frac{5}{3} [/mm] y$
Ergänze nun die offensichtlichen Identitäten:
y = 0 + 1 y + 0 z
z = 0 + 0 y + 1 z
und schreibe die 3 Gleichungen untereinander (jeweils + - Zeichen und y und z untereinander)
Wenn du diese 3 Gleichungen jetzt als eine Vektorgleichung betrachtest und die Variablen y und z ersetzt durch Parameter deiner Wahl, dann "siehst" du die Parametergleichung der Ebene schon:
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-\frac{13}{3} \\ 0 \\ 0} [/mm] + y * [mm] \vektor{- \frac{5}{3} \\ 1 \\ 0} [/mm] + z * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Sinnvollerweise könnte man den 2. Richtungsvektor mit 3 multiplizieren, um den Bruch hinaus zu bekommen.
Laß mich bitte noch anmerken:
In der Praxis ist es so gut wie nie sinnvoll, eine Koordinatenform oder eine Normalenform in Parameterform zu bringen.
Mit Koordinatenform oder Normalenform lösen sich alle Aufgabenstellungen schneller und leichter.
OK?
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Fanca |
Hallo!
Danke, jetzt weiß ich Bescheid 
Das hat mir weiter geholfen.
Diese Umtrechenrei ist ja auch nur Übung und Hausuafgabe. Ich persönlich rechne nicht gerne mit der Parameterform.
Gruß Fanca
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