Normalenform zu Ebene? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe ein Problem, dessen Lösung wahrscheinlich ziemlich einfach ist. Trotzdem komm ich nich druff.
Ich suche einen möglichst einfachen Weg, eine Ebene durch vier (bzw 3) Punkte zu ziehen und von dieser Ebene die Normalenform zu bekommen. Sinn der Aktion ist es, einen Punkt mit vorgegebenen x,z-Koordinaten entlang der Y-Achse auf ein Terrain zu "projizieren", d.h. die unbekannte y-Koordinate des Punktes auf die Höhe des Terrains an der Stelle (x,z) zu setzen.
Soweit hab ich bereits über das Problem nachgedacht:
ich nehme mir die vier Eckpunkte, die das Quadrat aufspannen über/unter dem mein Punkt X liegt, bestimme in welchem der beiden Teildreiecke der Punkt liegt, stelle für dieses Dreieck die Ebenengleichung auf, wandle diese in die Normalenform um und setze dort die x- und z-Koordinate von X ein um die y-Koordinate zu erhalten.
Kleines Bild zu dem Quadrat:
A----------------B
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C----------------D
Sry für die mäßige Darstellung ;)
Der Punkt X liege nun über dem Dreieck (A,B,C).
Dann lässt sich doch die Vektordarstellung der Ebene, die dieses Dreieck enthält so aufstellen:
[mm]\vec x = \vec A + \alpha * (\vec B - \vec A) + \beta * (\vec C - \vec A) [/mm], oder?
nun lässt sich ja die Normale der Ebene recht einfach über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnen.
Die Normalenform sieht doch aber so aus:
[mm] a*x + b*y + c*z + d = 0[/mm]
d ist doch hierbei der Abstand vom Nullpunkt, richtig?
a, b und c erhalte ich von der Normalen, aber woher bekomme ich das d möglichst einfach?
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d ist doch hierbei der Abstand vom Nullpunkt, richtig?
FALSCH!
Nur wenn die Ebene in Hesse-Normalform (HNF) vorliegt, ist |d| der Abstand vom Ursprung. Um die HNF herzustellen, mußt du die Gleichung durch den Betrag des Normalenvektors [mm]\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/mm] dividieren.
Das d kannst du ganz leicht berechnen: Setze einfach die Koordinaten eines Punktes deiner Ebene für x,y,z in die Gleichung ein.
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Heißt das folgendes:
da ich ja aus den beiden Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen, einfach die Normale berechnen kann, kann ich doch diese normieren und dann den Ursprungspunkt in die Gleichung [mm]ax+by+cz+d=0[/mm] einsetzen, um d und damit die komplette Normalform zu erhalten?
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nicht den ursprung (wenn du damit den ursprungspunkt meinst).
nehmen wir an, du hast a,b und c schon und der punkt (4,5,6) liegt auf deiner gesuchten ebene. dann setzt du diesen punkt ein und bekommst aus 4a+5b+6c+d=0 dein d.
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mit Ursprung meinte ich einen der drei Punkte des Dreiecks. In meiner Vorstellung einer Ebene repräsentiert sich eine Ebene aus einem Ursprungspunkt und den beiden Richtungsvektoren.
Aber dann hab ich es ja richtig verstanden, mich nur (mal wieder) missverständlich ausgedrückt.
Vielen Dank Euch allen für die Hilfe.
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