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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Ninka |
Hallo!
Wenn z.B. X N(50,34)-verteilt ist, wie rechnet man die Wahrscheinlichkeit P{ X<= 62}?
Müsste man dann das Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{62} {(1/\wurzel{2\pi}) * e^{-x^{2}/2}dx}
[/mm]
ausrechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 21.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Ninka!
> Hallo!
> Wenn z.B. X N(50,34)-verteilt ist,
Was bedeutet bei dir $N(50,34)$? Es kann leider (das wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt) zweierlei bedeutet: Entweder [mm] $N(\mu,\sigma^2)$ [/mm] (d.h. an der zweiten Stelle steht die Varianz) oder aber [mm] $N(\mu,\sigma)$ [/mm] (d.h. an der zweiten Stelle steht die Standardabweichung).
Ich gehe jetzt einmal davon aus, dass [mm] $\sigma^2=34$ [/mm] ist.
> wie rechnet man die
> Wahrscheinlichkeit P{ X<= 62}?
> Müsste man dann das Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{62} {(1/\wurzel{2\pi}) * e^{-x^{2}/2}dx}[/mm]
>
> ausrechnen?
Nein, das wäre so richtig, wenn $X$ $N(0,1)$-verteilt wäre, also standardnormalverteilt. Die Dichte für eine [mm] $N(\mu,\sigma^2)$-verteilte [/mm] Zufallsvariable lautet:
[mm] $f_{\mu,\sigma^2}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \cdot e^{ - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\, [/mm] dx$.
Du müsstest also hier:
[mm]\int\limits_{-\infty}^{62} \frac{1}{\wurzel{2\pi} \wurzel{34} } * e^{- \frac{(x-50)^2}{2 \cdot 34}}\, dx[/mm]
berechnen. Das Problem ist, dass der Integrand keine elementare Stammfunktion besitzt.
Daher macht man es doch ganz anders.  Und zwar so:
Zu berechnen ist ja:
$P(X [mm] \le [/mm] 60)$.
Nun "standardisieren" wir $X$. Zieht man nämlich von $X$ den Erwartungswert ab und teilt durch die Streuung [mm] $\sigma$, [/mm] so erhält man eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Wir wollen also
[mm] $P\left( \frac{X-50}{34} \le \frac{60-50}{34} \right) [/mm] = P [mm] \left(Z \le \frac{10}{34} \right)$
[/mm]
berechnen, wobei $Z$ standardnormalverteilt ist. Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, also
[mm] $\Phi(z) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{- \infty}^z e^{- \frac{x^2}{2}}\, [/mm] dx$
ist tabellarisch gelistet, weil auch hier der Integrand keine elemenare Stammfunktion besitzt. Schaue also in der folgenden ![[]](/images/popup.gif) Tabelle den Wert für [mm] $\Phi \left( \frac{10}{34} \right)$ [/mm] nach.
Manchmal muss man hierbei die Rechenregel [mm] $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ [/mm] für $z<0$ beachten.
Viele Grüße
Julius
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