Normabschätzung in Hilbertraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:39 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rainef |
| Aufgabe 1 | | Sei T ein linearer Operator auf einem Hilbertraum H mit abzählbarer Orthonormalbasis [mm] e_n [/mm] und [mm] \phi(n,k)= [/mm] gegeben. Geben Sie eine möglichst gute Abschätzung für [mm] \parallel T\parallel [/mm] bezüglich [mm] \phi(n,k) [/mm] an. |
| Aufgabe 2 | | Schätzen Sie für den konkreten Fall [mm] $\phi(n,k)=\bruch{1}{n+k}$ [/mm] die Norm [mm] \parallel T\parallel [/mm] möglichst gut ab. |
Meine Idee: [mm] x=\summe_{k=1}^{\infty} e_k. [/mm] Also [mm] Tx=\summe_{k=1}^{\infty} \summe_{n=1}^{\infty} e_n \phi(n,k)=\summe_{n=1}^{\infty} e_n (\summe_{k=1}^{\infty} \phi(n,k)). [/mm] Mit Parsevall und Hölder gilt dann für die Norm [mm] \parallel [/mm] Tx [mm] \parallel^2=\summe_{n=1}^{\infty} (\summe_{k=1}^{\infty} \phi(n,k))^2 \leq \summe_{n=1}^{\infty} [(\summe_{k=1}^{\infty} ^2) (\summe_{k=1}^{\infty}\phi(n,k)^2)]=\parallel x\parallel^2 \summe_{n=1}^{\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \phi(n,k)^2
[/mm]
Das ist jedoch sicher nicht die optimale Abschätzung, da diese bei Aufgabe 2 wahrscheinlich nicht mal konvergiert. Irgendwelche Vorschläge?
Wäre für Hinweise sehr dankbar! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Di 19.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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